一道公共焦点与准线的证明题

lemondian

设椭圆和抛物线的公共焦点为F，对应的公共准线为f，过椭圆上一点M作椭圆的切线，且交抛物线于A，B两点，那么
（1）FM平分∠AFB，
（2）∠AFB为定值。

色k

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5228
为何重复发帖？

lemondian

回复 2# 色k
嗯，这两个问题不相同的哩，
不过应该放在一起才好！

色k

噢，我没看清楚，还没睡够，中午再说……

kuing

还是用 2# 链接里的方法，非常简单。

设两共焦点共准线的圆锥曲线的极坐标方程分别为
\[\Gamma_i\colon\rho_i=\frac{e_ip}{1-e_i\cos\theta},\quad i=1,2,e_1<e_2,\]
设 `\Gamma_1` 上一点 `M\bigl(\rho_1(\theta_0),\theta_0\bigr)`，根据 2# 链接中的 6# 的引理，可知 `M` 处的切线方程为
\[\rho=\frac{e_1p}{\cos(\theta_0-\theta)-e_1\cos\theta},\]
将其与 `\Gamma_2` 联立，得
\[\frac{e_1p}{\cos(\theta_0-\theta)-e_1\cos\theta}=\frac{e_2p}{1-e_2\cos\theta},\]
化简即
\[\cos(\theta_0-\theta)=\frac{e_1}{e_2},\]
那么，只要 `\Gamma_2` 不是双曲线，则切线与 `\Gamma_2` 的两个交点 `A`, `B` 的极角就是
\[\theta_0\pm\arccos\frac{e_1}{e_2},\]
从而有 `FM` 平分 `\angle AFB` 且 `\angle AFB=2\arccos(e_1/e_2)` 为定值。

注：为何要排除双曲线，理由正如 2# 链接中的 16# 说的那样，双曲线时如果交点异支就会变成外角。

kuing

另外，对于平分的结论，还可以这样证：

如图，则有 `FK` 平分 `\angle AFB` 的角外以及 `\angle CFD` 的外角（见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&go … d=5747&pid=28887），
所以 `\angle AFC=\angle BFD`，而当 `C`, `D` 重合变成切点 `M` 时，自然就是 `FM` 平分 `\angle AFB` 了。

注：同样地，这里用到的结论在双曲线里也要分交点在同支和异支去讨论内角和外角，所以这里也排除双曲线。

lemondian

回复 6# kuing
刚想问平几解法来着，又让kuing给秒了。

kuing

回复 7# lemondian

角为定值还没有纯平几。
话说这题让我想起了之前的彭赛列一帖，不知能不能派上用场……

lemondian

回复 8# kuing
我也总觉得，角为定值也应该有平几证法。。。