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kuing
发表于 2018-12-12 16:51
还是用 2# 链接里的方法，非常简单。
设两共焦点共准线的圆锥曲线的极坐标方程分别为
\[\Gamma_i\colon\rho_i=\frac{e_ip}{1-e_i\cos\theta},\quad i=1,2,e_1<e_2,\]
设 `\Gamma_1` 上一点 `M\bigl(\rho_1(\theta_0),\theta_0\bigr)`，根据 2# 链接中的 6# 的引理，可知 `M` 处的切线方程为
\[\rho=\frac{e_1p}{\cos(\theta_0-\theta)-e_1\cos\theta},\]
将其与 `\Gamma_2` 联立，得
\[\frac{e_1p}{\cos(\theta_0-\theta)-e_1\cos\theta}=\frac{e_2p}{1-e_2\cos\theta},\]
化简即
\[\cos(\theta_0-\theta)=\frac{e_1}{e_2},\]
那么，只要 `\Gamma_2` 不是双曲线，则切线与 `\Gamma_2` 的两个交点 `A`, `B` 的极角就是
\[\theta_0\pm\arccos\frac{e_1}{e_2},\]
从而有 `FM` 平分 `\angle AFB` 且 `\angle AFB=2\arccos(e_1/e_2)` 为定值。
注：为何要排除双曲线，理由正如 2# 链接中的 16# 说的那样，双曲线时如果交点异支就会变成外角。 |
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色k
发表于 2018-12-12 09:07
