彭赛列闭合定理的速度分解法证明

kuing

话说今晚我的减压群里又在忆当年，聊着聊着，群友“生如夏花”（论坛ID：wwdwwd117）提起了彭赛列闭合定理，引用部分聊天记录如下：

生如夏花  21:07:23
上人教论坛第二年，我解决了一个网上称是200年悬而未决的问题。你们知不知道？
大色k  21:09:24
快说来听听是啥问题
生如夏花  21:16:19
就是彭赛列封闭定理的初等证明。就是网上说（谢国芳说的，不知真假）两百年来那些数学大师们每个人都用自己的方法证明了，但是还没有初等证明。我觉得我找到了初等证明。
大色k  21:16:52
那你发表了没？
生如夏花  21:17:49
没有
大色k  21:18:06
那除了你自己，还有人看过没
生如夏花  21:20:32
没有，不过我用我的方法，在彭赛列定理的基础上，轻易的又有很多推论，推论我在一些群里说过，结果我发现网上有人贴出说国外数学家给出了这个推论。结果我一看 ，那图都是我画的
爱咪哆  21:21:14
发表啊
被抢先了就完了
大色k  21:22:10
是不是用运动法，速度什么的搞嘀？
生如夏花  21:22:17
对对对
大色k  21:22:29
[斜眼笑]我知道你这方面有一套
虽然我也会，但可能没你玩得溜
生如夏花  21:23:33
简直是为这个定理量身定造的方法，特别方便。只用几何方法加运动法就能完成。
大色k  21:24:18
嗯，你先别说，等我有空也试试，万一搞出来了，我就抢先发表了
老鱼  21:24:34
渣k也这么谦虚。。不知道你们说什么
v6mm131  21:25:06
这个定理何版都说证明比较困难
生如夏花  21:31:34
你已经很接近了
大色k  21:31:53
你怎么知道我接近
生如夏花  21:36:03
因为我看你已经掌握了运动法的核心，有时比我用的好。
大色k  21:36:47
还有酱的事

呐，交待完事情的缘由，咱说到做到，现在就来发啦！

由于是抢发，所以只是撸了椭圆，其余情况还没想。夜深人静，特别适合思考，就是一不小心就通宵了这点不好。

kuing

唔，抛物线和双曲线应该也是一样的，只要改一下引理即可，比如下图：

也就是引理的外切 `n` 边形变成“旁切”的情形，同样均有
\[\frac {P_kQ_{k-1}}{P_kQ_k}=\frac {\sin \angle P_{k+1}Q_kF}{\sin \angle P_kQ_{k-1}F},\]
（文中“为长远起见”果然中了，只有用这种证法才能适用于这种旁切情形）因此同样有
\[\frac {P_1Q_1}{Q_1P_2}\cdot \frac {P_2Q_2}{Q_2P_3}\cdots\frac {P_nQ_n}{Q_nP_1}=1,\]
即引理无需限制为椭圆，这样一来，整个闭合定理应该就统一解决了。

kuing

[哈欠]还是先睡了，有空再把楼上的补上撸个完整版……

isee

回复 3# kuing

曾经提过n=3的时候

kuing

这帖发群里后的聊天记录中，wwd还提到：

生如夏花 9:10:25
你再用这个方法，看看当年人教论坛何版的最大的椭圆内接多边形那个，要证明多边形周长为定值 是不是只要一行！

由于后来我顾着研究那个椭圆弧差问题，就没理这个，现在来扯扯。

他说的应该是指这帖：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=295026

问题：求椭圆 `E`: `x^2/a^2+y^2/b^2=1` 的内接三角形周长的最大值。

原帖的解答很长，我也没细看，大概就是按这三步走：
（1）证明取最大值时的三角形一定是光反射三角形；
（2）证明存在无数个光反射三角形；
（3）证明所有光反射三角形的周长都相等，从而只需计算一个特殊的情形即可得到答案。

关于（1），原帖中已经说得很清楚了，这里不再重复；

关于（2），由这帖的引理知，如果一个多边形同时内接及外切于两个共焦点的椭圆，则此多边形必为较大椭圆的光反射多边形，由此，我们很容易构造出一个光反射三角形，就是这个样子：

小椭圆固定下来后，根据彭赛列闭合定理，可使三角形的顶点在椭圆上移动且保持和小椭圆相切，所以恒为光反射三角形；

关于（3），由于移动时总是光反射三角形，故各顶点的速度在与之连接的两线段上的分量大小相等且一增一减互相抵消，因此总周长恒定不变。

至于特殊情形（即上面动图中定下来那个）的周长计算，原帖中已有，这里也不重复了。

很明显，`n` 边形也一样。

huing

回复 1# kuing

弱弱地问一句：您用到已知条件了么，就证明了？

huing

以两个椭圆为例，彭赛列闭合定理的实质是刻划了基于内椭圆建立的外椭圆上二次点列的一个变换的指数。
定理说：如果对于点列中某点，变换具有最小周期n, 那么对于点列中的任意点，最小周期都是n，即变换的指数是 n.
如果我们能成功地以类似于$x_2=Mx_1$的形式表达这个变换，由已知条件就能得到$M^n=I_n$, 从而证明M具有指数n.

问题的难度就在于不易以分离的形式表达这个变换。你若找到这种表达，就是最好的证明。
说得再详细一点：以对称矩阵A、B表示内、外椭圆，理论上讲，M是A，B的函数，但是实际上很难分离出一个“纯函数”M(A,B)。

色k

回复  kuing

弱弱地问一句：您用到已知条件了么，就证明了？
huing 发表于 2018-9-4 10:36

用到了啊，就在最后那段。

huing

回复 8# 色k
最后那段用的是引理，跟已知条件没有关系。

kuing

回复 9# huing

有，最后我证明的是“若 `P_{n+1}` 与 `P_1` 重合则 `v_{n+1}=v_1`”，重合不就与条件“若第 n 次作的切线过起点”有关系了吗？

lemondian

huing与kuing有关系？

huing

回复 10# kuing
已知条件起于一个特定点，比如$A_1$, 然后生成了一个特定的内接外切n边形$A_1A_2...A_n$，您用到这个特定的n边形了吗？

假定$P_{n+1}$与$P_1$不重合，而是$P_{n+2}$与$P_1$重合，不是照样有$v_{n+2}=v_1$么，您的引理于确定边数有什么用？

kuing

回复 12# huing

我再重新说一下上述证明的逻辑吧。

当起始点 `P_1` 以速度 `v_1` 移动时，由于各线要保持与小椭圆相切，`P_2`, `P_3` 等全部点都随之移动起来，设它们的速度分别为 `v_2`, `v_3` 等。
根据速度分解的分析，我们得到这些点的速度与 `v_1` 之比满足如下关系：
\[\frac {v_1}{v_k}=\frac {Q_1P_1\cdot Q_2P_2\cdots Q_{k-1}P_{k-1}}{Q_1P_2\cdot Q_2P_3\cdots Q_{k-1}P_k}\cdot \frac {R_1P_1\cdot R_2P_2\cdots R_{k-1}P_{k-1}}{R_1P_2\cdot R_2P_3\cdots R_{k-1}P_k},\quad k=2,3,\ldots,\]它们一般来说不是定值。
这一等式具有一般性，无论是否存在那个特定的内接外切 `n` 边形，此式都是成立的。

回到彭赛列闭合定理上，依其条件所言，存在特定的内接外切 `n` 边形，那么，如果把上面的 `P_1` 放在这个 `n` 边形的某个顶点上的话，那么作到 `P_{n+1}` 时就会与 `P_1` 重合，在这里，它们虽然重合，但我们仍应把 `P_1` 和 `P_{n+1}` 视作两个点，因为假如定理是错的话，当 `P_1` 移动，`P_{n+1}` 就会与 `P_1` 分离，而我要证明的就是：当 `P_1` 和 `P_{n+1}` 重合时必有 `v_1=v_{n+1}`，这就说明它们不会分离，无论移到哪，它们都重合，因而定理成立。而引理就是用来证明最后这一点的。

huing

我明白你的意思了。
记已知条件中的特定闭合n边形为$A_1A_2...A_n$.
当$P_1$与任一$A_i$重合时，$P_{n+1}$与$P_1$重合，这时$v_1=v_{n+1}$
在运动的下一个瞬间（经过时间微分dt），$P_1$的滑动距离$ds_1=v_1dt$, $P_{n+1}$的滑动距离$ds_n=v_{n+1}dt=v_1dt=ds_1$, 所以两者不会分离。不分离则按引理速度就继续相等，同理在下下瞬间继续保持不分离，依此类推。

你的错误在于从微分跨跃到积分，这不成立。

wwdwwd117

回复 14# huing


    起始点与终点开始重合，运动过程中，任何时刻速度（大小与方向）都相同。所以永不会分离。这有问题？

wwdwwd117

我那天只在kk的群里，说我多年前解决了这个网上传言200年无初等解法的问题，kk猜出我是用“运动法”，我没有一句透露我的具体方法。然后kk一个晚上就给出了证明。和我09年的解法几乎一模一样。（只是我让这个多边形逆时针运动，他是顺时针运动，就这区别）。由此我坚信，我们的做法是对的。
你说哪里不对，请你具体说清楚，而不是什么空泛的讲。好像我们不是数学系毕业的，没学过微积分？

huing

回复 15# wwdwwd117
只是在那个给定的$A_i$上，$P_{n+1}$与$P_1$位置和速度相同，下一瞬不分离，那是微分概念。在一点的微分相等，不能保证在其邻域内积分相等。
这个证明也许可以挽救，但需要做更细致的处理，可能会超出初等范围。

hejoseph

用物理模型证明数学命题需要满足这些条件：
所用的物理定理的前提假设必须也满足数学命题的题设
所用到的物理结论必须是用物理定律通过数学公理和数学推理方法得到的

\[
\frac{Q_1P_1}{Q_1P_2}=\frac{v_1\sin\angle R_1P_1P_2}{\sin\angle R_1P_2P_1}
\]
这里就有问题了，这假设了在$P_1P_2$ 这条线上的分量上 $Q_1P_1$ 和 $Q_1P_2$ 这两段所用的时间是一样的，这就不合理了。而且为什么点重合速度就一定一样，根据什么物理定理？如果我在某一点瞬间沿其运动方向加一个力，速度就变了，运动还是那个路径。

huing

回复 18# hejoseph
这倒不成问题。
他设的速度是内椭圆的切线扫过外椭圆的速度。两条首尾相接的相邻切线要同步运动（在连接的端点，切线旋转速度在外椭圆的切向分量相等），由近及远的切线链都必须同步运动。他证明了双心多边形的边是一周同步的。
假使内外曲线有一条不是二次曲线，那么即使在一个特定位置存在封闭多边形，也只是作为开链是同步的（任取一边为始边），但是首尾不同步。

总觉得这个证明有可取之处，但一层窗纸还没捅破。
在已知的封闭多边形处是同步的，所以下一瞬不分离，按引理下下瞬也不分离，以此类推，....，永不分离。
可是，这一瞬一瞬又一瞬的都是无穷小量，如何走出无穷小呢？这才是问题的关键！

hejoseph

回复 19# huing


    我不知道你为什么认为没问题，上面我说那个时间相等假设题设里面并没有，假设回到原来位置速度确实是相等了，这是根据什么物理定律呢？如果说用了能量守恒，但是原几何问题里并无能量守恒这个条件。速度比为什么就应该是那个比呢，根据什么物理定律？这些定律的条件是否也是原几何题目的题设呢？如果不是，就是夹带了一些条件里没有的条件去证明，当然能比较容易证明出来。