关于彭赛列定理的对偶以及有公切线的二次曲线系

amekui

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这是本人去年的一个提问，今年又碰到了这个问题，希望能够能够得到更加透彻的解释。

amekui

呼叫懂哥

乌贼

这不是初等几何吧？

amekui

这不是初等几何吧？
乌贼 发表于 2021-10-22 02:25

特殊情况可以用解析法算出来 我希望得到关于问题本质的解释

isee

这不是初等几何吧？
乌贼 发表于 2021-10-22 02:25

zhihu.com/question/345570735

知乎浏览10w＋，还是特殊情况下，难不难可想而知，特别是得到漂亮解，不研习几年竞赛估计微乎其其微（解出）

乌贼

回复 5# isee
看链接头大

amekui

回复  isee
看链接头大
乌贼 发表于 2021-10-24 01:13

解析法直接看我发的过程即可 我希望得到一个更一般化的解释

abababa

如果外面那个不是椭圆，而是一个圆$C$，在特殊情况下就成为一个双心四边形，在一般情况下，$Q$的轨迹仍然是一个圆，这样的话因为外面的椭圆是由圆$C$伸缩变换得来的，那么$Q$的轨迹也一定要做伸缩变换，就从圆变成椭圆。如果知道了这点的轨迹是椭圆，根据对称性，只要求出它在坐标轴正方向上的两个交点就够了，之后就是点$P$在椭圆的长短轴顶点处，对应地求出点$Q$的位置，然后就能写出方程了吧。但是看那个数字也不好算，把$P$固定在长轴顶点，要求切线$PA$和椭圆的交点$A$，再求切线$AQ$和横轴交点$Q$，作为轨迹的长轴顶点，同理把$P$固定在短轴顶点，求出轨迹的短轴顶点。

amekui

如果外面那个不是椭圆，而是一个圆$C$，在特殊情况下就成为一个双心四边形，在一般情况下，$Q$的轨迹仍然是 ...
abababa 发表于 2021-10-24 20:01

我的疑问就是，在一般情况下如何说明这点的轨迹是椭圆？

abababa

回复 9# amekui

当内外两个曲线都是圆时，轨迹是一个圆，这个好证明，只要证明到中心的距离都相等。然后把外面那个伸缩变换成椭圆，这时这轨迹也要做伸缩变换，就应该是个椭圆吧。

amekui

回复  amekui

当内外两个曲线都是圆时，轨迹是一个圆，这个好证明，只要证明到中心的距离都相等。然后把 ...
abababa 发表于 2021-10-25 07:53

你是怎么在同一个坐标系下把两个圆的其中一个变成椭圆另一个还是圆的？

abababa

回复 11# amekui

哦，我明白了，里面那个用来作切线的圆，在伸缩下也要变，那这样就不能用伸缩了。

能不能从方程的角度考虑，比如设出$P$的坐标以后，能不能证明$Q$点一定满足一个二元二次方程？而不用把这个方程具体写出来，如果证明了，那二元二次方程一定是一个圆锥曲线，再通过五点确定一个圆锥曲线，找五个特殊的点来确定，这样行不行？

amekui

谁能解释一下这个问题的背景？

amekui

这个问题不能沉

hbghlyj

经过4点的二次曲线系的对偶是与4线相切的二次曲线系