第17其数学空间——彭赛列闭合定理，特殊情形n=3时……

isee

即：

求证：从一个三角形的外接圆上任意一点作内切圆的两条切线，它们和外接圆的两个交点的连线也是内切圆的切线。

Poncelet 闭合定理，不用点射影几何知识是很难说清的，哪怕退到最简单的情况，即以上的命题，纯几何，谁来尝试一下？

kuing

这个特殊情形好像曾经是个竞赛题吧……《数学空间》第16期《研究二次曲线内接三角形的内切圆、旁切圆问题》里有讲过……

青青子衿

回复 1# isee

即：
求证：从一个三角形的外接圆上任意一点作内切圆的两条切线，它们和外接圆的两个交点的连线也是内切圆 ...
isee 发表于 2014-8-22 23:20

伟大的彭赛列闭合定理
— The Great Poncelet's Closure Theorem
xieguofang.cn/Maths/GeometryTheorems/Poncelet_porism.htm
2009年中国第六届东南地区数学奥林匹克竞赛试题第6题(陶平生供题)：
wenku.baidu.com/view/06c963b069dc5022aaea0036.html
王习波的证明：
wenku.baidu.com/view/b78fb53287c24028915fc316.html

isee

看上去相当复杂啊，有没谁细想过，还有他途么

hbghlyj

2009年中国第六届东南地区数学奥林匹克竞赛试题第 6 题(陶平生供题)：
wenku.baidu.com/view/06c963b069dc5022aaea0036.html
青青子衿 发表于 2014-8-24 05:27

搬运搬运⋯

6．已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个三角形DEF，使得⊙O、⊙I分别是的外接圆和内切圆．

（陶平生供题）

证：如图，设OI=d，R,r分别是△ABC的外接圆和内切圆半径，延长AI交于⊙O于K，则$K I=K B=2 R \sin \frac{A}{2}$，$A I=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$，延长OI交⊙O于M,N；则$(R+d)(R-d)=I M \times I N=A I \times K I=2 R r$，即$R^{2}-d^{2}=2 R r$；

过D分别作⊙I的切线DE,DF，E,F在⊙O上，连EF，则DI平分∠EDF，只要证，EF也与⊙I相切；

设DI∩⊙O=P，则P是$\overparen{EF}$的中点，连PE，则$P E=2 R \sin \frac{D}{2}$，$D I=\frac{r}{\sin \frac{D}{2}}$，$I D \cdot I P=I M \cdot I N=(R+d)(R-d)=R^{2}-d^{2}$，

所以$P I=\frac{R^{2}-d^{2}}{D I}=\frac{R^{2}-d^{2}}{r} \cdot \sin \frac{D}{2}=2 R \sin \frac{D}{2}=P E$，

由于I在角D的平分线上，因此点I是△DEF的内心，

（这是由于，$\angle P E I=\angle P I E=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle P\right)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle F\right)=\frac{D+E}{2}$，而$\angle P E F=\frac{D}{2}$，所以$\angle F E I=\frac{E}{2}$，点I是△DEF的内心）．

即弦EF与⊙I相切．

hbghlyj

青青子衿 发表于 2014-8-24 05:27
王习波的证明：
wenku.baidu.com/view/b78fb53287c24028915fc316.html

证明：

为了区别于三角形ABC外接圆的半径R，我们特意将原题中的点R改为S，如左图所示。 我们的目标是证明小圆I就是点P在圆O上任意位置时所作三角形PQS的内切圆，即证明：QI平分角PQS。 我们作直线PI，则它必定交圆O于异于点P的另一点D；我们再作直线OI,则它必定交圆O于两点，我们记为E和F，如左图所示，则IE＝R+OI，IF＝R-OI。 连结QD和SD，记∠QPD=α，根据所作，PI平分∠QPS，所以有∠SPD=∠QPD=α，记 ∠PQI=β, ∠SQI=γ，则由PQDS四点共圆知∠DQS=∠SPD =α，所以∠DQI=∠DQS +∠SQI=α+γ，又因为∠DIQ是ΔPQI的一个外角，所以有∠DIQ＝∠QPD+∠PQI＝α+β

下面的目标是证明QI平分角PQS，即β＝γ，也就是证明ID=QD
显然，由正弦定理，$QD＝2R\sinα$
下面的目标是证明$ID=2R\sinα$
因为$EF$和$AD$都是圆$O$的弦，并且两弦相交于点$I$.
所以有$IP⋅ID=IE⋅IF$，而$IP=\frac{G I}{\sin \alpha}=\frac{r}{\sin \alpha}$，$r$为圆$I$的半径。即：
$$I D⋅\frac{r}{\sin \alpha}=(R+O I)(R-O I)=R^{2}-O I^{2}$$而由欧拉公式，有$OI^2=R(R-2r)$，所以$$I D⋅\frac{r}{\sin \alpha}=2Rr$$
即：$ID=2\sin \alpha$
所以有：ID=QD
所以有：α+β＝α+γ
所以有：QI平分角PQS
所以有：小圆I就是三角形PQS的内切圆
所以有：QS与小圆I相切

湖南省沅江市第一中学王习波证明于2012年12月15日

hbghlyj

青青子衿 发表于 2014-8-24 05:27
伟大的彭赛列闭合定理
— The Great Poncelet's Closure Theorem
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kuing

hbghlyj 发表于 2023-4-18 05:05
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