彭赛列闭合定理的速度分解法证明

kuing

回复 20# hejoseph

不知下面的解释是否可以？

设直线 `l` 与大椭圆交于 `A`, `B`，与小椭圆切于 `Q`，大圆在 `A`, `B` 处的切线交于 `D`。

让 `l` 转动且保持与小椭圆相切，设经时间 `\Delta t` 后，与大椭圆的交点变为 `A'`, `B'`，与小椭圆切于 `Q'`，设 `AB` 与 `A'B'` 交于 `X`，以 `X` 为圆心，`XA` 为半径作圆交 `XA'` 于 `C`，如图所示。

转动其间，设其平均角速度为 `\omega`，则有
\[\text{弧}~AC=\omega \Delta t\cdot XA,\]
当 `\Delta t\to0` 时，`\text{弧}~AC\sim AA'\sin \angle A'AQ\sim AA'\sin \angle DAQ` 且 `XA\sim QA`，因此
\[AA'\sin \angle DAQ\sim\omega \Delta t\cdot QA,\]
而当 `\Delta t\to0` 时 `AA'/\Delta t=v_A`，所以
\[v_A\sin \angle DAQ=\omega \cdot QA,\]同理\[v_B\sin \angle DBQ=\omega \cdot QB,\]所以
\[\frac {QA}{QB}=\frac {v_A\sin \angle DAQ}{v_B\sin \angle DBQ}.\]

wwdwwd117

回复 18# hejoseph


    何版，
一、我假如压下跷跷板（线段刚体）的一头，是不是另一头要同时运动？如果我停住，另一头是不是也同时停住？（所以不存在时间不一致的说法）
二、假如跷跷板我这头长度是1，对面是2，我压的这头速度v（垂直于跷跷板），那么另一头速度是不是2（反向垂直于跷跷板）？这叫速度的传递。无需时间，同时完成。至于为什么是1:2的比例，那是因为角速度一样。
三、点重合速度一样，不是条件，是结论，是整篇论文的目的，通过给予起点一个速度，速度传递到终点（与起点重合），算出来的。整篇就是为了算终点速度，（只不过是N个跷跷板，而且速度不在垂直。）最后发现，无论我们给起点一个什么速度，终点也是这个速度。（这两点开始重合，运动轨迹一致，最关键的是速度（大小和方向）统统一致），所以他们永不分开。从而证明封闭定理。（这本来就是封闭定理的意思）

hejoseph

为什么角速度会相等？这不是题目中的条件了

kuing

回复 23# hejoseph

21# 的 `\omega` 是 `l` 转动到 `l'` 的平均角速度，即如果设 `l` 与 `l'` 所成角为 `\theta`，则 `\omega=\theta/\Delta t`，它不一定是定值，但这无所谓，因为 `v_A` 和 `v_B` 都是由于 `l` 的转动而产生的。

hejoseph

回复 24# kuing


    但是问题又来了，你现在假定了角速度定义速速的函数是有极限的，但是这个也不是题目里提到的条件。而且也假设角速度的平均值是否存在也不是题设里的条件。

huing

回复 23# hejoseph
对顶角相等，一条切线两端的角速度自然相等。
证明中设置了一个n条的切线链$P_1P_2,P_2P_3,...,P_nP_{n+1}$，切线链是这样约束而链接的：把切线和曲线都想象为无穷细的刚体，用一个无穷小的环$P_i(i=2,...,n)$把$P_{i-1}P_i$与$P_iP_{i+1}$套在外椭圆上，曲线和切线都是光滑的，环可以在其上无阻尼滑动。注意$i$的取值范围，链是开链，$P_1$与$P_{n+1}$没有被套在一起。kuing和wwd让切线链在内椭圆上沿顺时针方向滚动起来，环在外椭圆上滑动，切线在环套中滑动，切线是无穷长的，不会滑出环套。由于是开链，不会在首尾自相扯掣，内外无论什么样的两条卵形线，运动都是可行的。
运动本来是自由的，并不需要一个速度-时间函数来规划，kuing完全可以让链任意地时快时慢。但既然轨道是周期性的，kuing不妨让运动也是周期性的，让同一个环回到同一点时具有原来的速度。不仅如此，对周期性我们想提一个更高的要求：不同的环先后经过同一点时也要求以相同的速度。
彭色列封闭定理蕴含了这样的事实：只有两条二次曲线才能满足这种周期性约束。并且，要满足这一约束，两条二次曲线之间并不需要存在有限的封闭多边形。
当两椭圆之间存在边数有限的封闭多边形时，约束只离散地存在于同一封闭多边形的顶点之间，不同封闭多边的顶点之间不存在速度约束。因此，椭圆被封闭多边形分成 n 段，段内不存在速度约束，可以自由规划一个速度-时间函数，任意时快时慢。段间存在约束，一段被规划好，其它各段也就被限制好了。
当两椭圆之间不存在边数有限的封闭多边形时，速度约束就会无限延伸，从而波及整个外椭圆。延伸是以可数序列的方式进行的，椭圆被离散化，但具有稠密性，按实数逼近理论，整个椭圆皆被波及，并不因离散化而有所遗漏。这就在整周建立起了一个速度-时间函数。
当内外卵形线有一条不是二次曲线时，如果链在一处首尾重合，它的速度无法相等，故不能满足约束。即使无论链节多长，首尾永无重合，但由于约束无穷延伸，起点仍将被无穷逼近，约束波及而与原速度不同产生矛盾。结果就是处处冲突，无法满足速度约束。
我以为，kuing基本上证明了两椭圆可满足速度约束。然仅此而已。

@kuing, 假定封闭处处存在，那么速度约束只是离散的，在段内的速度规划可以是任意的，所以可以是一个不可积分病态函数，你根本就无法从微分跨跃到积分，你走不出无穷小。假定封闭并非处处存在，必须全周约束，你就可以避开病态函数，也许可以完成积分，但这又不是你要的结果。 你要如何克服这个矛盾？

也许你会说，既然是任意的，我干嘛要选一个病态函数呢，我为什么不选一个容易积分的函数呢？我甚至可以用逼近法取极限，选一个符合全周约束的函数。
即便如此，你也需要完成积分啊。病态函数的存在，揭示了你没有完成积分，并且可能是完不成的。

hejoseph

那我举一个具体例子，选取点 $A(-2,1)$，$B(1,-1/2)$，直线 $AB$ 绕原点 $O$ 旋转，点 $A$ 在直线 $y=1$ 上运动，点 $B$ 在直线 $x=1$ 上运动，那么点 $A$ 运动到点 $(x,1)$ 处时，点 $B$ 运动到 $(1,1/x)$，由此得点 $A$ 与点 $B$ 的平均速度比为
\[
\frac{-2-x}{1/x-(-1/2)}=-2x，
\]
当上式 $x$ 趋向 $-2$ 时，其极限值为 4，即瞬间速度比为 4，但是 $AO/BO=2$。按照上面的推理，速度瞬间速度比为 2，这就与事实不符了。
关键还是那个速度比能那样推导吗？

kuing

回复 27# hejoseph

别忘了还有 sin，分子分母应分别乘 `\sin A` 和 `\sin B`，结果右边就是 `-x`，最终与事实相符。

wwdwwd117

huing，何版，这个方法的正确性我是坚信的。
我们可以看看隔壁，那个椭圆弧长之差的那个问题。那个结论我事先
并没有见过，我完全是利用运动法思考而来的。假如这个运动法如huing所说不能从微分跨越到积分，或者像何版所说是我们添加了条件，那么就不可能总是正确。
也许严格角度讲，它有适用范围，也许需满足光滑曲线之类的要求，不能拿起来就用。但是在我所用的问题中，都是与事实完全吻合的。

hejoseph

就那个推理还是难以令我信服，虽然我没法举个反例，但我认为只能在光滑曲线上引用的，就像那些处处连续但处处不可导的曲线是存在的。我也经常这样分析问题，但是我不认为这样能证明那个定理了。例如运动速度相等了并不能说明点就回到原来位置了，例如椭圆直径的两个顶点的速度都会一样的，而且对高于二次的曲线，这样的点会更多，若为同心圆，则每点的速度都一样。另外一个我不放心的地方就是：从特定多边形一顶点开始，到椭圆任意一个位置为起点，这个过程确实如huing所说是一个积分过程，这段感觉没说清楚。

isee

如果谁手头上正好有此定理的高等几何的证明，不防丢上来学习下

huing

让我们试图补足一下这个证明。

已知内外两椭圆之间夹着一个内接外切的封闭多边形$A_1A_2...A_n$。
下面我们提到$A_i$时，下标如超过n, 均指$i\pmod{n}$的最小正余。  
假定 26# 中设置的切线链的初始位置为环 $P_i$ 处于封闭多边形顶点 $A_i$ 处。

想象切线链在内椭圆上沿顺时针方向周而复始地滚动起来，环在外椭圆上滑动，切线在环套中滑动，切线是无穷长的，不会滑出环套。同一个环滑行一周回到原位时具有原来的速度。

kuing的引理表明切线链可以以这样的方式规划运动：不同的环先后经过同一点时具有相同的速度。
也就是说，以外椭圆弧长 s 为位置坐标（取$A_1$为弧长原点，顺时针方向为正向），所有的环都有相同的速度-位置函数 $v(s)$。
kuing和wwd实际就走到这儿了。
然后宣布说，$P_1$和$P_{n+1}$有相同的起点，又有相同的$v(s)$, 故必有相同的 $v(t)$ 和 $s(t)$.

让我们来推导一下，是否真的如此。就算$v(s)$是良好光滑的。
由 $v(s)=ds/dt$得 $dt=ds/v(s)$, 求定积分得\[t=\int_{s_{A_i}}^{s_{P_i}}\dfrac{\rmd{s}}{v(s)}=T(s_{P_i})-T(s_{A_i})\] 对于$P_1$和$P_{n+1}$, 将下标代入有
\[t=\int_0^{s_{P_1}}\dfrac{\rmd{s}}{v(s)}=T(s_{P_1})-T(0)\] \[t=\int_0^{s_{P_{n+1}}}\dfrac{\rmd{s}}{v(s)}=T(s_{P_{n+1}})-T(0)\] 结果\[T(s_{P_1})=T(s_{P_{n+1}}\ )=t+T(0)\]由于$T(s)$是严格的单增函数，故存在反函数\[s_{P_1}=s_{P_{n+1}}=T^{-1}(t+T(0))=:s(t)\]

好像真的证明了耶！！可是，没有漏洞吗？

hbghlyj

彭色列闭合定理的纯射影几何证明--彭连虎.pdf (395.77 KB, 下载次数: 7101)

2020-1-20 22:18 上传

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hbghlyj

回复 21# kuing
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