圆锥曲线中的一个小性质

Oreo_King

- 约定：
1. 过圆锥曲线上某一点 $P$, 作此点切线的垂线 $\ell_P$, 此垂线称为 $P$ 的 $法线$.
2. 圆心在法线上且过此法线对应的切点 $P$ 的圆 $C_P$, 称为 $法圆$.

做题时发现这样一个结论: 对某圆锥曲线 $K$, 给定某点 $P\in K$, 取定点 $Q\in\ell_P$, 作过 $Q$ 的直线 $M_KN_K$ 交 $K$ 于 $M_K$, $N_K$, 则对关于 $P$ 的任意法圆 $C_P$, $PM_K$ 与 $PN_K$ 必定分别与其有交点 $M_C$, $N_C$, 证明直线 $M_CN_C$ 也恒过定点.

这个结论怎么证明? 有没有什么深刻的含义?

kuing

我画图看了一下，貌似 `M_CN_C` 是斜率恒定耶🤔 不知是不是我理解有误？
按我的理解，你的题目的描述可以稍作简化如下：
给定圆锥曲线 `K`，其上有相异三定点 `P`, `M_K`, `N_K`，则对关于 `P` 的任意法圆 `C_P`，直线 `PM_K`, `PN_K` 与该圆有交点 `M_C`, `N_C`，证明直线 `M_CN_C` 过定点？

Oreo_King

kuing 发表于 2023-1-26 17:36
我画图看了一下，貌似 `M_CN_C` 是斜率恒定耶🤔 不知是不是我理解有误？
按我的理解，你的题目的描述可以稍 ...

抱歉可能是我表述有点不清楚, 但是从图中来看$M_CN_C$ 斜率不是定值 (另外图中的点 $H$ 就是结论所说的定点)

Oreo_King

这可不可以看成是某种映射? 类似于那种平行线上的 "仿射" 一样.

Oreo_King

再补充一下, $M_K$, $N_K$ 并不是定点, 而是满足直线 $M_KN_K$ 恒过定点 $Q$ 的两个点 (这样说起来似乎容易理解很多)

简单来说, 就是这个 $M_KN_K$ 恒过定点的性质, 在这种关于 $P$, $C_P$ 和 $K$ 的某个映射 $f(M_K;P,C_P,K):圆锥曲线\ K\ 上的点\ M_K\mapsto法圆\ C\ 上的点\ M_C$ 下, 是一种不变量.

不知道这样会不会好理解一点, 感觉这种映射下的不变量背后都大有深意, 所以前来请教.

kuing

Oreo_King 发表于 2023-1-26 20:49
抱歉可能是我表述有点不清楚, 但是从图中来看$M_CN_C$ 斜率不是定值 (另外图中的点 $H$ 就是结论所说的定 ...

果然是我理解错了😅原来是直线在动……
因为你说“则对...任意法圆...”我以为是圆在动……

kuing

Oreo_King 发表于 2023-1-26 21:06
再补充一下, $M_K$, $N_K$ 并不是定点, 而是满足直线 $M_KN_K$ 恒过定点 $Q$ 的两个点 (这样说起来似乎容易 ...

相信不止是法圆，两个一般的相切圆锥曲线估计也是如此，猜想有如下结论：

给定俩圆锥曲线 `\Gamma_1`, `\Gamma_2` 相切于点 `P`，`P` 处的法线为 `l`，过 `P` 的两条直线 `l_m`, `l_n`，设 `l_m` 分别交 `\Gamma_1`, `\Gamma_2` 于 `M_1`, `M_2`，`l_n` 分别交 `\Gamma_1`, `\Gamma_2` 于 `N_1`, `N_2`，法线 `l` 分别交直线 `M_1N_1`, `M_2N_2` 于 `Q_1`, `Q_2`，若 `Q_1` 为定点，则 `Q_2` 也是定点。

kuing

kuing 发表于 2023-1-28 17:19
相信不止是法圆，两个一般的相切圆锥曲线估计也是如此，猜想有如下结论：

给定俩圆锥曲线 `\Gamma_1`, ` ...

有了，先证明如下的：

命题：在平面直角坐标系 `xOy` 下，圆锥曲线 `\Gamma` 与 `x` 轴相切于原点 `O`，过 `O` 的两直线 `y=k_1x`, `y=k_2x` 分别交 `\Gamma` 于 `M`, `N`，直线 `MN` 交 `y` 轴于 `Q`，则若 `k_1k_2` 为定值，则 `Q` 为定点，反之亦然。

证明：依题意可知 `\Gamma` 的方程必定可以写成
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Ey=0,\]
（理由见 这帖 15# 的前半）
代入 `y=k_1x` 解得
\[x_1=-\frac{Ek_1}{A+Bk_1+Ck_1^2},\]
对 `x_2` 同理，则直线 `MN` 的方程为
\[\frac{y-k_1x_1}{k_2x_2-k_1x_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1},\]
令 `x=0` 解得 `Q` 的纵坐标为
\begin{align*}
y_Q&=\frac{(k_1-k_2)x_1x_2}{x_2-x_1}\\
&=\frac{k_1-k_2}{\frac1{x_1}-\frac1{x_2}}\\
&=\frac{k_1-k_2}{\frac{A+Bk_2+Ck_2^2}{Ek_2}-\frac{A+Bk_1+Ck_1^2}{Ek_1}}\\
&=\frac{k_1-k_2}{\frac AE\left( {\frac1{k_2}-\frac1{k_1}} \right)+\frac CE(k_2-k_1)}\\
&=\frac{Ek_1k_2}{A-Ck_1k_2},
\end{align*}
可见命题成立。

回到楼上的猜想，只需建坐标系使切点 `P` 为原点且法线为 `y` 轴，则当 `Q_1` 为定点时由上述命题知两直线 `l_m`, `l_n` 的斜率之积为定值，再由命题可知 `Q_2` 为定点，即得证。

kuing

至于涉及什么映射、不变量之类的背景，我也不太懂，射影几何我只懂点皮毛，得等大神来解释。

PS、楼主不见鸟😔

Oreo_King

不好意思现在才看到 · · · · · ·
高三狌一个月回来一次也不容易
感谢您的回答！

Ly-lie

kuing 发表于 2023-1-28 17:19
相信不止是法圆，两个一般的相切圆锥曲线估计也是如此，猜想有如下结论：

给定俩圆锥曲线 `\Gamma_1`, ` ...

还可以继续推广，先把结论放在这：
给定两条相交的二次曲线以及定点$Q$，取一个交点$P$，过$Q$的直线交其中一条二次曲线于$M,N$，$PM,PN$分别交另一条于$K,L$，求证$KL$也过定点$R$。

abababa

Ly-lie 发表于 2023-3-6 20:03
还可以继续推广，先把结论放在这：
给定两条相交的二次曲线以及定点$Q$，取一个交点$P$，过$Q$的直线交其 ...

好像是下面这个，以前看maven证过：
两条二次曲线$\Gamma_1, \Gamma_2$有一交点为$A$，另有一定点$O$，$OP_1T_1$交$\Gamma_1$于$P_1,T_1$，$AP_1, AT_1$交$\Gamma_2$于$P_2, T_2$，求证$P_2T_2$过定点。
作$O$关于$\Gamma_1$的极线$M_1N_1$。在$\Gamma_1$中考察以$M_1N_1$为对合轴的对合$\sigma_1$，所有对合对应点都过对合轴的极点$O$，
而$P_1T_1$过点$O$，所以$P_1,T_1$是$\sigma_1$的一组对应点，于是$\Gamma_1(P_1,T_1;M_1,N_1) = -1$。

设$AM_1, AN_1$交$\Gamma_2$于$M_2, N_2$，设$M_2N_2$关于$\Gamma_2$的极点为$K$，设$P_2K$交$\Gamma_2$于$T'$，在$\Gamma_2$中考察以$M_2N_2$为对合轴的对合$\sigma_2$，所有对合对应点都过对合轴的极点$K$，所以$P_2, T'$是$\sigma_2$的一组对应点，于是$\Gamma_2(P_2,T';M_2,N_2) = -1$。

于是$\Gamma_1(P_1,T_1;M_1,N_1) = \Gamma_2(P_2,T';M_2,N_2)$，经过以$A$为束心的线束将$\Gamma_1$射影到$\Gamma_2$，即$(A,P_1,T_1,M_1,N_1) \to (A,P_2,T_2,M_2,N_2)$是射影对应，于是$(P_1,T_1;M_1,N_1) = (P_2,T_2;M_2,N_2)$，所以$(P_2,T_2;M_2,N_2) = (P_2,T';M_2,N_2)$，
于是$T_2, T'$重合，即$P_2T_2$过点$K$，所以$P_2T_2$过对合$\sigma_2$的对合轴$M_2N_2$的极点$K$。

由于$O$为定点，所以$M_1N_1$为定线，由于$A$为定点，所以$M_2N_2$为定线，所以$K$为定点。

Ly-lie

abababa 发表于 2023-3-6 21:33
好像是下面这个，以前看maven证过：
两条二次曲线$\Gamma_1, \Gamma_2$有一交点为$A$，另有一定点$O$，$O ...

没错，这个结论用对合来看是显然的，即$M$到$N$为对合立得$K$到$L$为对合