四边形蝴蝶定理

hbghlyj

thread-399-1-1.html
thread-6850-1-1.html
如果OE⊥FG，则EF=EG、EF'=EG'

如果把这个圆去掉，给一个EF=EG的条件，证EF'=EG'

交比证明
（FG|EG'）=B（FG|EG'）=B（KG|DC）=E（KG|DC）=E（KF|BA）=D（KF|BA）=D（GF|EF'）=（GF|EF'）

hbghlyj

《几何瑰宝》
四边形蝴蝶定理 设四边形 $A B C D$ 中对角线 $A C, B D$ 交于 $A C$ 之中点 $M$. 过 $M$ 作两直线分别交 $A B, D C$ 于 $P, Q$, 交 $A D, B C$ 于 $R, S$. 联结 $P R$ 与 $Q S$ 分别交 $A M, C M$ 于 $G, H$, 则 $M G=M H$.
证明 记 $M A=M C=a, M G=x, M H=y$, 则有
\begin{aligned}
\frac{x}{a-x} \cdot \frac{a-y}{y}= & \frac{M G}{A G} \cdot \frac{C H}{M H}=\frac{S_{\triangle M P R}}{S_{\triangle A P R}} \cdot \frac{S_{\triangle C Q S}}{S_{\triangle M Q S}}= \\
& \frac{S_{\triangle M P R}}{S_{\triangle M Q S}} \cdot \frac{S_{\triangle C Q S}}{S_{\triangle C B D}} \cdot \frac{S_{\triangle C B D}}{S_{\triangle A B D}} \cdot \frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\triangle A P R}}= \\
& \frac{M P \cdot M R}{M Q \cdot M S} \cdot \frac{C Q \cdot C S}{C D \cdot C B} \cdot \frac{M C}{M A} \cdot \frac{A B \cdot A D}{A P \cdot A R}= \\
& \frac{S_{\triangle P A C}}{S_{\triangle Q A C}} \cdot \frac{S_{\triangle R A C}}{S_{\triangle S A C}} \cdot \frac{S_{\triangle Q A C}}{S_{\triangle D A C}} \cdot \frac{S_{\triangle S A C}}{S_{\triangle B A C}} \cdot \frac{M C}{M A} \cdot \frac{S_{\triangle B A C}}{S_{\triangle P A C}} \cdot \frac{S_{\triangle D A C}}{S_{\triangle R A C}}= \\
& \frac{M C}{M A}=1
\end{aligned}下略.

1+1=？

用笛沙格对合定理结合垂径定理可证

hbghlyj

很容易看出来(F,G)(F',G')(K,L)在同一组对合中，其中E是不动点。我们这还有个条件没用，垂直。

我们可以看到这是特殊情况，更一般地，是完整版：
如果QR=Q'R'，那么由于基础版，我们有PQ=P'Q'
而且我们的确还有QS=Q'S'（用交比可证明）。这个结论一般被称为三翅蝴蝶。
征求导角相似解法！！（证明过程不会很简洁，但是交比很简洁）
还是和上面的一样，证明（SS'|QR）=（S'S|Q'R'）
（SQ，RS’）从A点来看等于（SB，CS’）从B点来看又等于（SR’，Q’S），其他的线段相等 立刻得到到了QS=Q’S’

hbghlyj

一条直线截四点形ABCD的六边，截出来的三组对边的交点是同一个对合(对合给出6个点，而不是3个)定义域和值域都是这条红色直线。
如果R和f(R)重合，而且QR=f(Q)R，那么就是开头的那个结论。

我们之前说过，“三个点”确定“一个对合”，而在确定是对合的情况下，“三个点”其实相当于“两对点”，意思是直径Pf（P）等三圆共轴，所以我们能说“Pf（P）”与“Qf（Q）”确定“一个对合”，而“Pf（P）”与“Rf（R）”也确定一个。六个点中取两对四个点证明交比相同可以推出对合。笛沙格对合定理是说，这两个对合是同一个。
证明：（Pf(P)|QR）=（f(P)P|f(Q)f(R)）
这里不要用三圆共轴，笛沙格对合定理只涉及到直线，在里面加入圆只会增加难度。证明是简单的，交比稍微导一下就出来了。这个就是把一个这个对合直接套进去。假设PQ和它们的像已知确立一个对合，这说明R的像刚好是f（R）
是这样的，我们先采用Pf（P）与Qf（Q）的对合，然后证R在这个射影变换下的像是f（R）
设AD，BC交于Y则从C来看，（PQ，Rf（R））=（DAYf（R）），从B点来看，上式又等于（f（Q）f（P），Rf（R））

hbghlyj

定理一：过二次曲线$\Gamma$弦$A_1A_2$外一点$M$作$\Gamma$的两弦$B_1B_2, B_3B_4$，$B_1B_2 \cap A_1A_2 = A_3, B_3B_4 \cap A_1A_2 = A_4, B_1B_3 \cap A_1A_2 = P_1, B_2B_4 \cap A_1A_2 = P_2$，则
一、$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}+\frac{1}{P_1A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}+\frac{1}{A_1A_3})$
二、$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}-\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}-\frac{1}{P_1A_3})$

证明：由于二次曲线交比不变，因此$(A_1P_1A_3A_2) \barwedge B_1(A_1B_3B_2A_2) \barwedge B_4(A_1B_3B_2A_2) \barwedge (A_1A_4P_2A_2)$，即$\frac{A_1A_3}{P_1A_3}:\frac{A_1A_2}{P_1A_2} = \frac{A_1P_2}{A_4P_2}:\frac{A_1A_2}{A_4A_2}$，两边乘$\frac{A_1A_2}{A_1A_3 \cdot A_2A_4}$得$\frac{P_1A_4+A_4A_2}{A_2A_4 \cdot P_1A_3} = \frac{A_1A_3+A_3P_2}{A_1A_3 \cdot P_2A_4}$，即$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}+\frac{1}{P_1A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}+\frac{1}{A_1A_3})$

因此$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}-\frac{1}{P_2A_4})+\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{P_1A_4}+\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}-\frac{1}{P_1A_3})+\frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{A_1A_3}+\frac{1}{P_1A_3})$。

而$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{P_1A_4}+\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_1P_2}{P_1A_3 \cdot P_2A_4} = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{A_1A_3}+\frac{1}{P_1A_3})$，所以$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}-\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}-\frac{1}{P_1A_3})$。


当$M,A_3,A_4$重合时，即有$\frac{1}{A_2M}+\frac{1}{P_1M} = \frac{1}{P_2M}+\frac{1}{A_1M}$，即$\frac{1}{A_1M}-\frac{1}{A_2M} = \frac{1}{P_1M}-\frac{1}{P_2M}$，此为 Candy 蝴蝶定理。

再当$A_1M = A_2M$时，即得$P_1M = P_2M$，此即为蝴蝶定理。