对合笔记

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知乎上有一篇更高视角的文章zhuanlan.zhihu.com/p/115319492
再把百度百科"对合"词条"射影几何"目抄下来并改了几个错别字：
因为恒同变换在几何上是无意义的，于是约定这里讨论的对合非恒同。因为在射影几何中，点线是对偶的，而二次点列可以由线束过渡到点列，所以在此讨论点列对合的性质，亦适用于线束和二次点列。
对合的射影几何判定，（这里约定P,P'为对应元素，对其他字母亦是如此）(PP',AB)=(P'P,A'B')（交比），对于不变元素EF，有(PP',EF)=-1（调和点列）。对于二次点列的对合，还有一些好的性质。对应元素的连线共点，称为对合中心，此点为对应射影轴的极点。
如右图中A,A';B,B';C,C'分别对合，所以它们连线交于公共点O.

而对于射影变换,如果A映射到A',B映射到B',那么AB'和A'B的交点在射影轴（直线）上。所以我们看到图中AB'和A'B的连线的交点在射影轴上，同样对应的，我们将这些割线退化到切线，得出对于对合变换，对应点的切线的交点也在射影轴上。通常从圆外一点引切线和割线的题目，通常也于二次点列的对合有关。通过配极，还可以得到对应元素的切线交于射影对应轴上。另外还有笛沙格对合定理，它联系了直线上的对合变换和二次曲线上的对合变换。即给定二次曲线上一个对合变换和其上一个固定点P，二次曲线上对合的点和P的连线确定过P点的一个线束，于是这个线束同任何固定直线的交点同样确定这条直线上的对合变换。

如有图，有椭圆上一点P以及对合的二次点列A,A';B,B';C,C'.连接PA,PA',PB,PB',PC,PC'等与定直线相交，同样确定直线上的对合变换：A,A';B,B';C,C。对于直线上对合变换，任取平面上一点X,过定点X和对合的点的圆将过另外一个定点Y，更加一般的：二次曲线系（二阶线束）交于四定点，每条二次曲线与一不过这四点的定直线的交点是对合的对应元素，其逆定理也成立。当二次曲线退化成直线，则变成完全四点形，当直线经过对边交点时，则成了完全四点形调和性定律。
再来几个课件
一维对合
一维基本形的对合
一维几何形式对合的几个问题
维基百科"对合"

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注意，点列对合与线束对合并不是一一对应，每条直线截一组线束对合截出来不同的点列对合，而每个透视点看点列对合看出来不同的线束对合（所以是多对多）。这是一个一般情况下的线束对合
我们昨天用共轴圆组生成了点列对合，那么，我们能用共轴圆组生成线束对合吗？
过一点外作共轴圆组的两条切线
共轴圆组切线那个例子不在根轴上那种是错的
如何证明这是个错的呢？只需要说明这个关系不是一个对合映射即可。我们在这个共轴圆组里面取两个不内含的圆，作它们的一条公切线交根轴于O，然后O对这两个圆的分别的另一条切线不可能重合，于是这不可能是个对合变换

*实际上不是只有根轴上的线束能这样生成，但根轴上的证起来简单
切线保证“对合”，根轴保证原像和像都在同一个圆上，不在根轴上的要二次曲线，利用二次曲线的性质知射影变换（二次曲线为满足射影变换的点的集合）
之前证点列的时候用的垂直，那么，这次证线束应该用垂直的对偶？
垂直的对偶不是那么好刻画的，而且这个比起点列的情况，实际上要稍微难一些。严格的对偶是取根轴上的无穷远点。
提示：

迪沙格对合定理的基础版本：
四边形ABCDEF所在平面内有一点P，则PAPB、PCPD、PEPF属于同一个对合
把昨天证明里的点换成线，线换成点就是这个的证明：
P(EC,AD)到DE上，以A为视点到PC，以B视到AF，再以P视

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好，我们现在有了第二个迪沙格对合定理基础版了。在这种情况下，我们一般把看起来比较好看的叫作这个定理本身，把另一个长得像的称作它的对偶版本。至于怎么算长得像......查对偶原理，我不会主动讲到
然后第二个的完整版本是这样的：

对于任意一点P，P关于切$l_1,l_2,l_3,l_4$的二次曲线族的任一二次曲线的两条切线在同一组对合中*实际上四边形中，边先于点定义
我们昨天说过，以较高观点来看，直线截共轴圆组是迪沙格对合定理的体现**昨天并没有用高观点来解释,用的是反演生成对合这个解释的

那么现在这个切线，是迪沙格对合定理的对偶的体现吗？
因为五个条件确定二次曲线,共的两个点(圆环点)已经占了两个,剩下已经没有地方凑四条切线出来了。也就是说，如果共轴圆能被笛沙格对合定理证明的话就要有4条切线来切圆，但是5个条件定一个二次曲线，圆又必须过2个圆环点，所以条件有6个，不能定一个二次曲线系
*不是“确定一个圆只需要5个条件”，而是“五个条件能有限地确定出二次曲线”，而一个圆组有无限个圆

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回顾：两类非退化共轴圆组确定的对合的对合中心都是根轴和圆心连线的交点。两类共轴圆组确定的对合，对合中心所对应的反演，一个反演幂为正，另一个为负。

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那么反过来呢？如果从一个点$O$出发，交圆与一对对点$A,f(A)$，这一对对点是不是一定是一组对合呢？
这块你没办法用线束在反演里面不变作简单的证明
这一对对点是不是一定是一组对合呢？具体一些，我们如果导交比，一定会用到线束交比的。相似加正弦定理是可行的。圆上的交比有个很好的性质，由于正弦定理的存在，可以直接表示为线段比。可以直接导导相似比，就出来了。
回顾：锥线上四点的交比定义为锥线上一点对锥线上四点的线束交比。锥线有“这个交比是常数”的性质
我们的确可以使用正弦，而且甚至可以暴力地直接把刚才那个共轴圆组构造出来
我们现在已经有两种证法了……直到现在还没有讲正常的射影证法
导正弦和作共轴圆组都没法推广到一般二次曲线，我们怎么能找一种完全射影的方法呢？
首先，问一个问题：当我们在验证一个对合映射是射影变换的时候，我们都可以怎么做？
我们验证对合一般有两种思路，一种是直接暴力验证：
以A'为透视点看ABCD，射影在O的极线上，再将点列从A'看射影回锥线上
（WAD'共线这些东西需要用到布洛卡定理）
还有一种是像我两天前证迪沙格对合定理，验证两组对合映射之间保交比：
就是说，我们实际上只需要验证C(Bf(B)|AD)=(f(B)B|f(A)f(D))
也就是说，（Bf(B)PQ）=（f(B)B|P'Q'）

作C切线笛沙格对合两次.在退化四边形CCAf(A)中使用迪沙格对合定理，有Bf(B)，OO'，PP'在同一组对合中,同理，Bf(B)，OO'，QQ'在同一组对合中,故Bf(B)，PP'，QQ'在同一组对合中，则Bf(B)，Af(A)，Df(D)在同一组对合中
由一个点所引出的直线束交二次曲线的每一对点属于同一组对合,而我们可以很轻松地把我们的证明过程翻过来
最简单的方法是射影变换把锥线变成圆，但过于耍赖皮:)

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我们现在正反两方面都证明了这个结论：长这样的就是锥线上的对合，而且锥线上的对合都长这样
这说明锥线上的对合与射影平面上的点存在一一对应的关系（当然，要挖掉锥线上的所有点）、
于是我们就有理由给这个点起个名字了。它叫这个对合变换的对合中心。没错，又是对合中心，和点列的那个重名了。在直线视作圆的极限时，这两个对合中心是一样的。
确认一下，O不能在锥线上，否则没法交一对点
如果它们对合，那么$Bf(B)，PP'，QQ'$在同一组对合中，而由迪沙格对合定理，$Bf(B)，PP'，O'O_1$在同一组对合中，$Bf(B)，O'O_2，QQ'$在同一组对合中，所以$O_1$和$O_2$重合，即这个点存在
的确是同一，但不是直接应用定理本身的那种同一
习题
1在“一个二次曲线上的所有点”的对合变换中，迪沙格对合定理长啥样？
就是说，这种情况下的“截一个二次曲线系出对合”应该怎么叙述？