若 ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 是有心二次曲线，求它的中心坐标

TSC999

若二次曲线 $ ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 $ 是有心曲线（椭圆或双曲线），求它的中心的坐标。

青青子衿

【转发】一般形式二次曲线性质
zhuanlan.zhihu.com/p/552961949

hbghlyj

$\cases{x=x'+x_{\text{C}}\\y=y'+y_{\text{C}}}$
令$d'=e'=0$
得$\cases{x_{\text{C}}=\\y_{\text{C}}=}$

isee

一个具体的例子（详实）

证 $7x^2+7y^2-2xy+54x+6y+63=0$ 的轨迹为椭圆
forum.php?mod=viewthread&tid=8312
(出处: 悠闲数学娱乐论坛(第3版))


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$f=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的中心 $(x_0,y_0)$ (充要条件)为最后结论的为
\begin{align*}
(f_x=)2Ax_0+By_0+D&=0,\\
(f_y=)Bx_0+2Cy_0+F&=0
\end{align*}

其两直线与$\delta f/\delta x=0,\delta f/\delta y=0$形式上一致.

hbghlyj

利用“中心(x,y)是[0:0:1]的极点”得
$\left(\begin{array}la&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{array}\right)\left(\begin{array}lx\\y\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}lax+by+d\\bx+cy+e\\dx+ey+f\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}l0\\0\\1\end{array}\right)$
$\implies ax+by+d=bx+cy+e=0$
$\implies x=\cdots,y=\cdots$