在复平面上包含$a(z)$所有零点的每一个圆也包含$b(z)$的零点

hbghlyj

Bemerkungen zu einem Satz von J H Grace über die Wurzeln algebraischer Gleichungen 两个多项式$$a(z)=a_0+\tbinom{n}{1}a_1 z+\tbinom{n}{2}a_2 z^2+\dots+a_n z^n$$ $$b(z)=b_{0}+{\tbinom {n}{1}}b_{1}z+{\tbinom {n}{2}}b_{2}z^{2}+\dots +b_{n}z^{n}$$ 满足条件$$a_{0}b_{n}-{\tbinom {n}{1}}a_{1}b_{n-1}+{\tbinom {n}{2}}a_{2}b_{n-2}-\cdots +(-1)^{n}a_{n}b_{0}=0$$那么包含一个多项式所有零点的每一个圆也至少包含另一个多项式的一个零点。

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满足上述条件的两个多项式被称为“apolar”多项式.

在2010多项式讲座第 10 讲中找到了一个证明

在第 9 讲中，$A_\xi$ 定义为 $A_{\xi} f(z)=(\xi-z) f^{\prime}(z)+n f(z)$.

第 10 讲：在定理证明中我们将使用以下引理：

设 $f(z)$ 的所有根 $z_1, \ldots, z_n$ 都位于圆域 $K$ 内，且 $\xi$ 位于 $K$ 外，则 $A_{\xi} f(z)$ 的所有根都位于 $K$ 内。

证明

首先假设 $\xi \neq \infty$。则 $w$ 是 $A_{\xi} f(z)$ 的一个根，那么 $\xi$ 是 $f$ 的根相对于 $w$ 的质心。

第六讲的定理 1.6 表明，由于 $z_1, \ldots, z_n$ 位于 $K$ 内且中心不在 $K$ 内，则 $w$ 必须在 $K$ 内。

如果 $\xi=\infty$，则 $A_{\xi} f(z)=f^{\prime}(z)$。条件 $\xi \notin K$ 意味着 $K$ 不是一个圆的外部，因此 $K$ 是一个凸集，因此它包含了 $z_1, \ldots, z_n$ 的凸包。现在，第六讲的Gauss-Lucas定理表明 $A_{\xi} f(z)$ 的根也在 $K$ 内。

现在我们将证明定理：

设 $f, g$ 是apolar多项式。如果 $g$ 的所有根属于圆域 $K$，则 $f$ 的至少一个根也属于 $K$。

证明：假设 $f$ 的所有根 $z_1, \ldots, z_n$ 都位于 $K$ 外。
通过上述引理，$A_{z_n} g(z)$ 的所有根都在 $K$ 内。反复使用引理我们得到 $A_{z_2} \ldots A_{z_n} f(z)$ 的所有根都在 $K$ 内。但这个最后的表达式是一个一次多项式，因此形式为 $c(z-a), c \neq 0$。所以，$a \in K$。

让我们计算一下，$f, g$ 是apolar多项式，所以 $0=A_{z_1} \ldots A_{z_n} g(z)=A_{z_1}(c(z-a))=c\left(z_1-a\right)$。因此 $z_1=a$。但 $z_1 \in K$，而 $a \notin K$。矛盾。
所以，至少有一个 $z_i$ 在 $K$ 内。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-19 14:05
$A_{z_2} \ldots A_{z_n} f(z)$ 的所有根都在 $K$ 内。但这个最后的表达式是一个一次多项式，因此形式为 $c(z-a), c \neq 0$。

为什么 $A_{z_2} \ldots A_{z_n} f(z)$ 是一次多项式？