Descartes’ rule of signs

hbghlyj

GR0568

17. How many real roots does the polynomial $2x^5+8x-7$ have?

Unofficial solution:

Since there is one sign change in $2 x^5+8 x-7$, Descartes' rule of signs implies $2 x^5+8 x-7$ has one positive zero. To find the number of negative zeros, consider $2(-x)^5+8(-x)-7=-2 x^5-8 x-7$. There are no sign changes which implies there are no negative zeros. Thus, $2 x^5+8 x-7$ has one real zero.

$++-$变号数为1，故只有1个正根；
$---$变号数为0，故没有负根。

hbghlyj

也可以从图象看出只有1个实根

isee

++-， 这是什么定理？

kuing

isee 发表于 2023-8-29 17:15
++-， 这是什么定理？

斯图姆定理吧，你应该也有印象的

hbghlyj

isee 发表于 2023-8-29 17:15
++-， 这是什么定理？

在1#的第一句就说了：Descartes’ rule of signs

Suppose $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$. Then the number of positive zeros of $f$ is equal to the number of sign changes of $f(x)$ or an even number fewer. Furthermore, the number of negative zeros of $f$ is equal to the number of sign changes of $f(-x)$ or an even number fewer.

hbghlyj

《几何》勒内·笛卡尔 第71页 一个方程有多少真根(正根) 我们还能确定任一方程所能有的真根与假根的数目,办法如下: 一个方程的真根数目跟它所含符号的变化、即从$+$到$-$或从$-$到$+$的多寡一致; 而其假根的数目, 跟连续找到两个$+$号或两个$-$号的次数一样。 于是, 在最后一个方程中, 因 $+x^4$ 之后是 $-4 x^3$, 出现了从$+$到$-$的一次符号变化, $-19 x^2$ 之后是 $+106 x$, $+106 x$ 之后是 $-120$, 又出现了两次变化, 所以找们知道有三个真根; 因 $-4 x^3$ 之后是 $-19 x^2$. 那么有一个假根。

hbghlyj

Wikipedia有一个简短的归纳法的证明：
引理：序列$(a_n,\dots,a_0)$的变号数$V(f)$与正根数$Z(f)$同奇偶

证明

$V(f)$与序列$(a_n,a_0)$的变号数同奇偶（因为每增加变号都与相邻两项不同，所以会加入2个变号）。
图象上，从$\infty$到$0$的根数$Z(f)$与$(f(\infty),f(0))$的序列变号数同奇偶，即与$(a_n,a_0)$的序列变号数同奇偶，即与$V(f)$同奇偶

由引理，$V(f)-Z(f)$是偶数，还剩证明$Z(f)\le V(f)$
对$ n $归纳. 当$ n=0,1 $时显然. 设$ n\geq 2 $.
由归纳假设 $ Z(f')=V(f')-2s $ 对某个 $ s\geq 0 $.
由Rolle中值定理存在$f'$的根在每两个$f$的根之间，故$f'$至少有$Z(f)-1$个正根，即$ Z(f')\geq Z(f)-1$
$f'$的系数符号和$f$的前$n$项系数符号相同，只是$V(f)$比$V(f')$多一个常数项符号。
若 $ a_{0}a_{1}>0 $, 则$ V(f')=V(f) $, 否则$ V(f')=V(f)-1 $. 在两种情况下都有$ V(f')\leq V(f) $
根据这两个不等式$$ Z(f)\leq Z(f')+1=V(f')-2s+1\leq V(f)-2s+1\leq V(f)+1$$
因$V(f)-Z(f)$是偶数，必有$Z(f)\le V(f)$