$\sqrt{p_1},…,\sqrt{p_n}$表成同一数$α$的有理系数多项式，$α$的次数$=2^n$

hbghlyj

$p_1,\dots,p_n$为不同的质数，则
$\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},…,\sqrt{p_n}$都能表成代数数$α$的有理系数多项式，$α$的次数$=2^n$
$\sqrt{p_1p_2},\sqrt{p_1p_3},…,\sqrt{p_{n-1}p_n}$都能表成代数数$α$的有理系数多项式，$α$的次数$=2^{n-1}$
$\sqrt{p_1p_2p_3},\sqrt{p_1p_2p_4},…,\sqrt{p_{n-2}p_{n-1}p_n}$都能表成代数数$α$的有理系数多项式，$α$的次数$=2^{n-2}$
$…$
$\sqrt{p_1p_2…p_n}$都能表成代数数$α$的有理系数多项式，$α$的次数$=2^1$.

如何证明？

例如：$n=3$
$\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5$ 都能表成代数数$\alpha$的有理系数多项式，$2^n=8$
$\alpha={}$root of $x^8 - 40 x^6 + 352 x^4 - 960 x^2 + 576$ near $x = 5.38233$
wolframalpha.com/input?i=ToNumberField%5B%7BSqrt%5B2%5D%2C+Sqrt%5B3%5D%2CSqrt%5B5%5D%7D%5D

$\sqrt6,\sqrt{10},\sqrt{15}$ 都能表成代数数$\alpha$的有理系数多项式，$2^{n-1}=4$
$\alpha={}$root of $x^4 - 62 x^2 - 240 x - 239$ near $x = 9.48475$
wolframalpha.com/input?i=ToNumberField%5B%7BSqrt%5B6%5D%2C+Sqrt%5B15%5D%2CSqrt%5B10%5D%7D%5D

$\sqrt{30}$ 都能表成代数数$\alpha$的有理系数多项式，$2^1=2$
$\alpha={}$root of $x^2-30$

hbghlyj

例如：$n=4$
$\sqrt{2 \times 3}, \sqrt{2 \times 5}, \sqrt{2 \times 7}, \sqrt{3 \times 5}, \sqrt{3 \times 7}, \sqrt{5 \times 7}$ 都能表成代数数$\alpha$的有理系数多项式，$2^{n-1}=8$
$\alpha={}$root of $x^8 - 404 x^6 - 3952 x^5 - 946 x^4 + 112864 x^3 + 309276 x^2 - 332720 x - 1155335$ near $x = 23.7251$
wolframalpha.com/input?i=ToNumberField%5B%7BSqrt%5B2*3%5D%2CSqrt ... CSqrt%5B5*7%5D%7D%5D

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-16 13:57
$\sqrt6,\sqrt{10},\sqrt{15}$ 都能表成代数数$\alpha$的有理系数多项式，$2^{n-1}=4$
$\alpha={}$root of $x^4 - 62 x^2 - 240 x - 239$ near $x = 9.48475$

可以写出 $x^4 - 62 x^2 - 240 x - 239$ 的根：
$\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}$
$\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{15}$
$-\sqrt{6}+\sqrt{10}-\sqrt{15}$
$-\sqrt{6}-\sqrt{10}+\sqrt{15}$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-16 13:57
$\sqrt{p_1p_2},\sqrt{p_1p_3},…,\sqrt{p_{n-1}p_n}$都能表成代数数$α$的有理系数多项式，$α$的次数$=2^{n-1}$

令 $α=(\sqrt{p_1}+\dots+\sqrt{p_n})^2$，那么$α$的极小多项式的根是$(\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\pm\dots\pm\sqrt{p_n})^2$，共有$2^{n-1}$个根，所以$α$的极小多项式的次数是$2^{n-1}$.

如何证明$\sqrt{p_1p_2},\sqrt{p_1p_3},…,\sqrt{p_{n-1}p_n}$都能表成代数数$α$的有理系数多项式