已知多项式$f(x)$的所有根，求相关多项式的根

abababa

设$a_0,a_n\neq0$，多项式$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$的$n$个根是$a_1,a_2,\cdots,a_n$，求$g(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0, h(x)=a_0x^n+a_1bx^{n-1}+\cdots+a_{n-1}b^{n-1}x+a_nb^n$的$n$个根。

这个我只得到了$g(x)=x^nf(\frac{1}{x})$和$h(x)=b^nf(\frac{x}{b})$，要怎么继续求它们的所有根呢？

hbghlyj

abababa 发表于 2024-4-3 11:47
这个我只得到了$g(x)=x^nf(\frac{1}{x})$和$h(x)=b^nf(\frac{x}{b})$，要怎么继续求它们的所有根呢？

因为$a_0,a_n\neq0$，$0$不是$f(x),g(x)$的根，所以$g(\frac{1}{x})=0\iff f(x)=0$，$g(x)$的根分别为$f(x)$的根的倒数.
同理$h(bx)=0\iff f(x)=0$，$h(x)$的根分别为$f(x)$的根乘以$b$.

abababa

hbghlyj 发表于 2024-4-4 03:45
因为$a_0,a_n\neq0$，$0$不是$f(x),g(x)$的根，所以$g(\frac{1}{x})=0\iff f(x)=0$，$g(x)$的根分别为$f(x) ...

这个是我已经得到的结果啊，主楼给出了$g(x),h(x)$的表达式，自然就得到那些根一定是$\frac{1}{a_i}$和$ba_i$了，但这些根$a_1,a_2,\cdots$还都是$f(x)$的系数，应该进一步求出来才行吧。

hbghlyj

abababa 发表于 2024-4-4 03:29
但这些根$a_1,a_2,\cdots$还都是$f(x)$的系数，应该进一步求出来才行吧。

1#的标题是「已知多项式$f(x)$的所有根，……」
我看了之后以为$f(x)$的所有根是已知的，不需要求出

hbghlyj

abababa 发表于 2024-4-4 03:29
但这些根$a_1,a_2,\cdots$还都是$f(x)$的系数，应该进一步求出来才行吧。

Polynomials such that roots=coefficients