$(1+X_i)$的完全对称多项式

hbghlyj

$(1+X_i)$的完全对称多项式总能表为$X_i$的完全对称多项式的线性组合？

hbghlyj

完全对称多项式的定义：

1. completeSymmetricPolynomial[i_?IntegerQ,vars_?ListQ]:=Total@Union@Tuples[Times@@vars,{i}];

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将$1+a,1+b,1+c,1+d$的2次完全对称多项式写成$a,b,c,d$的2、1、0次完全对称多项式的线性组合：
$$h_2(1+a,1+b,1+c,1+d)=h_2(a,b,c,d)+4h_1(a,b,c,d)+6h_0(a,b,c,d)$$

1. Simplify[completeSymmetricPolynomial[2,{1+a,1+b,1+c}] == completeSymmetricPolynomial[2,{a,b,c}] + 4 completeSymmetricPolynomial[1,{a,b,c}] + 6 completeSymmetricPolynomial[0,{a,b,c}]]

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True
系数为$1,4,6$.
一般地：$\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})=\sum _{j=0}^{k}{\binom {n+k-1}{k-j}}h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n}).$ 如何证明呢

hbghlyj

不对，$n=4,\;k=2,\;0\le j\le k$代入$\binom {n+k-1}{k-j}$不符合上面的$1,4,6$啊，哪里弄错了呢