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exlucas-定理给出 $\binom {m}{n}$ 除以素数幂 $p^k$ 的余数表达式。然而，公式变得更加复杂。如果 $k=2$，即模数是素数 $p$ 的平方，则：
对于所有 $0 ≤ s ≤ r ≤ p - 1, a ≥ 0, b ≥ 0$，以下同余关系成立
\begin{equation}\label1{\binom {pa+r}{pb+s}}\equiv {\binom {a}{b}}{\binom {r}{s}}(1+pa(H_{r}-H_{r-s})+pb(H_{r-s}-H_{s})){\pmod {p^{2}}}, \end{equation}
其中 $H_n=1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots+\tfrac1n$ 是第 $n$ 个调和数。
如何证明\eqref{1}？ |
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