计算：$\sum_{i=0}^{1011}(-3)^iC_{2022}^{2i}=$

Tesla35

计算：$\sum_{i=0}^{1011}(-3)^iC_{2022}^{2i}=$

kuing

这题要用虚数 `i`，然而楼主原题又有 `i`，只好用直立体区分鸟
$\newcommand\i{\,\mathrm i\,}$
\begin{align*}
\bigl(1+\sqrt3\i\bigr)^{2022}&=1+\sqrt3\i C_{2022}^1-3C_{2022}^2-3\sqrt3\i C_{2022}^3+3^2C_{2022}^4+\cdots-3^{1011}C_{2022}^{2022},\\
\bigl(1-\sqrt3\i\bigr)^{2022}&=1-\sqrt3\i C_{2022}^1-3C_{2022}^2+3\sqrt3\i C_{2022}^3+3^2C_{2022}^4+\cdots-3^{1011}C_{2022}^{2022},
\end{align*}
相加即得
\[\bigl(1+\sqrt3\i\bigr)^{2022}+\bigl(1-\sqrt3\i\bigr)^{2022}
=2\sum_{i=0}^{1011}(-3)^iC_{2022}^{2i},\]
两边除以 `2^{2022}` 变成
\[(\cos60\du+\sin60\du\i)^{2022}+(\cos120\du+\sin120\du\i)^{2022}
=\frac1{2^{2021}}\sum_{i=0}^{1011}(-3)^iC_{2022}^{2i},\]
由于 `6\mid2022`，故上式左边其实就是 `2`，所以所求式 `=2^{2022}`。

Tesla35

kuing 发表于 2023-1-12 21:25
这题要用虚数 `i`，然而楼主原题又有 `i`，只好用直立体区分鸟
$\newcommand\i{\,\mathrm i\,}$
\begin{ali ...

懂了。果真上复数了