求没有"击剑现象"出现的概率

O-17

这是我一个同学发给我的题, 可能有点钓的成分, 如下:

已知海绵表面有 $n$ 个洞，内部有 $m$ 条通道, 假设每条通道恰好连接两个洞，且每一个洞至多被一条通道连接.
称"击剑现象"为存在两个被一条通道连接的洞，且这两个洞均被插入.
求同时插入 $k$ 根时，没有"击剑现象"出现的概率.

我做的结果是
$$
\sum_{i=0}^{\infty}\left[\frac{C_{n-2m}^{i}C_{2m}^{k-i}}{C_n^k}\prod_{j=0}^{k-1-i}\left(1-\frac{j}{2m-j}\right)\right]
$$
代了几个特值算了下应该是对的, 由于我的思路非常暴力, 这个结果基本上没有什么价值, 不知道有没有更简单的形式.

hbghlyj

O-17 发表于 2023-9-19 14:08
两个洞均被插入

这道题的“被插入”是什麽意思呢

每条通道恰好连接两个洞，后面是否还有其它的叙述呢