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素数 $p=4k+1$，那么 $\alpha=\left\langle\dfrac{1}{2}\dbinom{2k}{k}\right\rangle$ 和 $\beta=\langle(2k)!\alpha\rangle$ 满足 $p=\alpha^2+\beta^2$
这里 $\langle n\rangle$ 表示 $n \bmod p$ 的“绝对值最小”余数，即 $\langle n\rangle\equiv n\pmod p$ 且 $|\langle n\rangle|<\frac{p}{2}$.
例如，如果 $p=5$，则 $k=1$，$\alpha=\langle\frac12\binom 21\rangle=1$ 和 $\beta=\langle 2!\cdot1\rangle=2$ 满足 $5=1^2+2^2$.
如果 $p=13$，则 $k=3$，$\alpha=\langle\frac12\binom 63\rangle=-3$ 和 $\beta=\langle 6!\cdot(-3)\rangle=-2$ 满足 $13=(-3)^2+(-2)^2$. |
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