$d$ 维单形

hbghlyj

6.1
设 $\mathcal{K}$ 为一个 $d$ 维单形的所有子单形的集合。
(i) 证明
\[
\chi(\mathcal{K})=\sum_{\tau \in \mathcal{K}}(-1)^{\operatorname{dim} \tau}=0
\]
(ii) 在 $\mathcal{K}$ 中，考虑满足 $v \subseteq \tau$，且 $\operatorname{dim} v=\operatorname{dim} \tau-1$ 的子单形 $v,\tau$。论证这样的子单形对 $(v,\tau)$ 的数量是 $(d+1) 2^d$。

hbghlyj

(i) $\cal K$ 有 $d+1$ 个顶点。
对于每个 $-1\le \ell\le d$，$\cal K$ 有 $\binom{d+1}{\ell+1} $ 个 $\ell$ 维子单形。其中，$\emptyset$ 是 $-1$ 维子单形。
子单形的总数为$$|\mathcal{K}|=\sum_{\tau \in \mathcal{K}}1=\sum_{\ell=-1}^d\binom{d+1}{\ell+1}=2^{d+1}$$
同理，$$\chi(\mathcal{K})=\sum_{\tau \in \mathcal{K}}(-1)^{\operatorname{dim} \tau}=\sum_{\ell=-1}^k(-1)^\ell\binom{d+1}{\ell+1}=0$$

hbghlyj

(ii) 固定 $\ell$ 维 $\tau$ 后，满足 $v \subseteq \tau$，且 $\operatorname{dim} v=\ell-1$ 的子单形 $v$ 的数量为 $\binom{l+1}{l}$。
所以这样的子单形对 $(v,\tau)$ 的数量是
\[
\sum_{l=0}^d\binom{l+1}{l}\binom{d+1}{l+1}=2^d(d+1)
\]