单形之积的剖分

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$p,q\inN_+,$
$\Delta^p$是$p$维单形
$\Delta^q$是$q$维单形
则$\Delta^p\times\Delta^q$是很多$\Delta^{p+q}$粘合得到的。具体有多少

hbghlyj

$\Delta^1$是$0\to 1$
那麼$\Delta^1\times \Delta^1$可分为2个$\Delta^2$:
$$(0,0)\to(1,0)\to(1,1)$$
$$(0,0)\to(0,1)\to(1,1)$$

hbghlyj

$\Delta^1$是$0\to 1$
$\Delta^2$是$0\to 1\to2$
那麼$\Delta^1\times \Delta^2$可分为3个$\Delta^3$:
$$(0,0)\to(0,1)\to(0,2)\to(1,2)$$
$$(0,0)\to(0,1)\to(1,1)\to(1,2)$$
$$(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(1,2)$$

hbghlyj

可以用体积计算：
$\Delta^p$的$p$维体积是$\frac1{p!}$
$\Delta^q$的$q$维体积是$\frac1{q!}$
那么$\Delta^p\times\Delta^q$的($p+q$)维体积是$\frac1{p!}\cdot\frac1{q!}$
而$\Delta^{p+q}$的($p+q$)维体积是$\frac1{(p+q)!}$
那么$\Delta^p\times\Delta^q$分为$\frac{(p+q)!}{p!q!}=\binom{p+q}p$个$\Delta^{p+q}$
个数与(p,q)-shuffle相同

个数确定了。但怎么写出它们的頂点呢

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hbghlyj 发表于 2024-8-25 13:02
例如$3\times 2$网格上的一条阶梯路径可以被描绘成

这幅图来自 Gabriel, Zisman, "Calculus of Fractions and Homotopy Theory", chapter II

hbghlyj

$\Delta^p\times\Delta^q\times\Delta^r$分为多少个$\Delta^{p+q+r}$
按“体积”计算应该是$\dfrac{(p+q+r)!}{p!q!r!}$
但是我们可以像上面一样用顶点的形式写出来吗？

hbghlyj

1. def find_paths(x, y, path, paths):
2.     if x == 3 and y == 2:
3.         paths.append(path)
4.         return
5.     if x < 3:
6.         find_paths(x + 1, y, path + [(x + 1, y)], paths)
7.     if y < 2:
8.         find_paths(x, y + 1, path + [(x, y + 1)], paths)
10. paths = []
11. find_paths(0, 0, [(0, 0)], paths)
12. for path in paths:
13.     print("\\to".join(map(str, path)))

Copy the Code

\begin{aligned}(0, 0)\to(1, 0)\to(2, 0)\to(3, 0)\to(3, 1)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(1, 0)\to(2, 0)\to(2, 1)\to(3, 1)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(1, 0)\to(2, 0)\to(2, 1)\to(2, 2)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(1, 0)\to(1, 1)\to(2, 1)\to(3, 1)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(1, 0)\to(1, 1)\to(2, 1)\to(2, 2)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(1, 0)\to(1, 1)\to(1, 2)\to(2, 2)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(0, 1)\to(1, 1)\to(2, 1)\to(3, 1)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(0, 1)\to(1, 1)\to(2, 1)\to(2, 2)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(0, 1)\to(1, 1)\to(1, 2)\to(2, 2)\to(3, 2)\\
(0, 0)\to(0, 1)\to(0, 2)\to(1, 2)\to(2, 2)\to(3, 2)\end{aligned}

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1. from itertools import permutations
3. def generate_paths():
4.     steps = ['x', 'y', 'z', 'w', 'w']
5.    
6.     unique_permutations = set(permutations(steps))
7.    
8.     paths = []
9.     for perm in unique_permutations:
10.         path = [(0, 0, 0, 0)]
11.         current_position = [0, 0, 0, 0]
12.         for step in perm:
13.             if step == 'x':
14.                 current_position[0] += 1
15.             elif step == 'y':
16.                 current_position[1] += 1
17.             elif step == 'z':
18.                 current_position[2] += 1
19.             elif step == 'w':
20.                 current_position[3] += 1
21.             path.append(tuple(current_position))
22.         paths.append(path)
23.    
24.     return paths
26. paths = generate_paths()
27. for path in paths:
28.     print("\\to".join(map(str, path)))

Copy the Code

\begin{align*}
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 1, 0)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 1, 0, 0)\to(1, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 1, 0)\to(0, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(1, 1, 0, 0)\to(1, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 1, 0)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 2)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 0, 2)\to(1, 0, 0, 2)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 0, 2)\to(0, 1, 0, 2)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(1, 0, 1, 0)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 0, 1, 2)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 2)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 0, 2)\to(0, 0, 1, 2)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 2)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 0, 1, 2)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 0, 2)\to(1, 0, 0, 2)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 0, 2)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 2)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 0, 2)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(1, 0, 1, 0)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 1, 1, 0)\to(0, 1, 1, 1)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 0, 1, 2)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(1, 1, 0, 0)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 0, 1, 2)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 1, 1, 0)\to(0, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(0, 0, 1, 1)\to(0, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 0, 1, 0)\to(1, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(1, 1, 0, 0)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 1, 0, 0)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 1, 0)\to(1, 0, 1, 0)\to(1, 1, 1, 0)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 0, 2)\to(0, 1, 0, 2)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 1, 0)\to(0, 1, 1, 1)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 0, 2)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(1, 0, 0, 1)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 1, 1)\to(1, 0, 1, 1)\to(1, 1, 1, 1)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 1, 0, 0)\to(0, 1, 0, 1)\to(0, 1, 0, 2)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(1, 0, 0, 0)\to(1, 1, 0, 0)\to(1, 1, 0, 1)\to(1, 1, 0, 2)\to(1, 1, 1, 2)\\
(0, 0, 0, 0)\to(0, 0, 0, 1)\to(0, 0, 0, 2)\to(0, 0, 1, 2)\to(0, 1, 1, 2)\to(1, 1, 1, 2)\end{align*}

hbghlyj

$\def\Z{\mathbb{Z}}\DeclareMathOperator\sgn{sgn}\DeclareMathOperator\Obj{Obj}\DeclareMathOperator\Chain{Chain}\DeclareMathOperator\Moore{Moore}\DeclareMathOperator\tot{tot}\DeclareMathOperator\opposite{op}\DeclareMathOperator\identity{id}\DeclareMathOperator\Hom{Hom}$
接下来我们讨论$X = \Delta^p$和$Y = \Delta^q$时所对应的$\Delta^p \times \Delta^q$,比方说,如何分类$\Delta^p \times \Delta^q$上的非退化单形?问题的答案非但有助于理解积的几何实现,相关构造也是之后需要的.
首先,任两个偏序集$S_1$和$S_2$的积$S_1 \times S_2$通过$(a_1,a_2) \leq (b_1,b_2) \Leftrightarrow a_1 \leq b_1,a_2 \leq b_2$成为偏序集,这也相当于取它们对应范畴的积.

定义. 设$p,q\in \Z_{\geq 0}$.所谓$(p,q)$-重组,意谓保序单射$\sigma : [p+q]\to [p]\times [q]$.

对任意$n\in \Z_{\geq 0}$,指定保序映射$[n] \to [p]\times [q]$相当于指定一对保序映射$\sigma_{-} : [n] \to [p]$以及$\sigma_{+}:[n] \to [q]$;也相当于指定$\Delta^p \times \Delta^q$的一个$n$-单形.要求$i \mapsto (\sigma_{-}(i),\sigma_{+}(i))$的轨迹不停顿($i = 0,\cdots,n$).对于$n = p+q$时可以图解为

于是对于$(p,q)$-重组$\sigma$可以定义
\begin{align*}
    I_{\pm} &:= \{1\leq i \leq p+q : \sigma_{\pm}(i-1) < \sigma_{\pm}(i)\}\\
    &=\{1\leq i \leq p+q:\sigma_{\pm}(i-1) = \sigma_{\pm}(i)-1\}\\
    &=\{1\leq i \leq p+q:\sigma_{\mp}(i-1) = \sigma_{\mp}(i)\},
\end{align*}
它们满足$I_+ \sqcup I_- = \{1,\cdots,p+q\}$.子集$I_+$(或$I_-$)如上图的向上(或向右)部分,故$(p,q)$-重组的另一种观点是视其为$p$个$\to$以及$q$个$\uparrow$的排列,不难发现有${p+q}\choose{p}$种.这些观察顺带说明$\sigma_{+}$和$\sigma_{-}$对于$(p,q)$-重组是保序满射.

命题. 设$p,q\in \Z_{\geq 0}$.考虑$\Delta^p \times \Delta^q$的$n$-单形,亦即保序映射$\sigma : [n] \to [p]\times [q]$.命$(p_i,q_i):=\sigma(i)$, $(p',q'):= (p_n-p_0,q_n-q_0)$,则$\sigma$非退化当且仅当下述条件成立

• $p'+q' = n$;
• $\sigma$分解为$(p',q')$-重组$\sigma' : [n] \to [p']+[q']$和形如$f\times g$的保序单射$[p']\times [q'] \hookrightarrow [p]\times [q]$.

证明. 让$\sigma$对应到保序映射对$(\sigma_-,\sigma_+)$.不难发现$\sigma$非退化相当于说$i\mapsto (p_i,q_i)$的轨迹不停顿.因此命题是自明的.$\boxed{}$

基于非退化单纯形的描述,读者不妨发挥想象力揣摩$|\Delta^p \times \Delta^q| \simeq |\Delta^p| \times |\Delta^q|$在$(p,q) =(1,1)$和$(2,1)$时的道理.例如下图是将$|\Delta^2 |\times |\Delta^1|$剖分为$3$个四面体的结果,对应于$3 = {3\choose 2}$个$(2,1)$-重组.

定义. 设$\sigma$为$(p,q)$-重组,其符号定义为
    \[
    \sgn(\sigma) := (-1)^{|I_{\sigma}|}, I_{\sigma}:= \{(i,j) \in I_- \times I_+: i >j\}.
    \]
    若将$\sigma$视同$p$个$\rightarrow$以及$q$个$\uparrow$的排列,则$I_{\sigma}$就是所有出现``错排''$(\uparrow,\rightarrow)$的数对$(j,i)$其中$j <i$.简单的组合学练习告诉我们存在唯一的$\tau \in \frak{S}_{p+q}$将这般排列还原为形如$\rightarrow\cdots\rightarrow\uparrow\cdots\uparrow$的样式,而不打乱$I_+$和$I_-$内部的顺序,而上述定义相当于说$\sgn(\sigma) = \sgn(\tau)$.
    对于$(p,q)$-重组$\sigma$,调换$\sigma_-$和$\sigma_+$的角色给出$(q,p)$-重组$\sigma'$.上述诠释和基本的组合学论证表明
    \[
    \sgn(\sigma) = (-1)^{pq}\sgn(\sigma')
    \]
    准此要领,类似地定义$(p,q,r)$-重组为保序单射$\sigma = (\sigma_-,\sigma_0,\sigma_+):[p+q+r] \to [p]\times [q]\times [r]$,或理解为三维空间中向右$\rightarrow$,向前$\nearrow$以及向上$\uparrow$的排列.同样的组合学练习表明若$(p,q,r)$-重组$\sigma$有分解\footnote{当然可以分解为$[p+q+r] \xrightarrow{\sigma_1}[p]\times [q+r]\xrightarrow{\identity_{[p]} \times \sigma_2}[p]\times[q]\times[r]$}
    \[
    [p+q+r] \xrightarrow{\sigma_1}[p+q]\times [r]\xrightarrow{\sigma_2 \times \identity_{[r]}}[p]\times[q]\times[r]
    \]
    则$\sigma_1$是$(p+q,r)$-重组,$\sigma_2$是$(p,q)$-重组,而且
    \[
    \sgn(\sigma) = \sgn(\sigma_1)\sgn(\sigma_2)
    \]
    由此可以给出$n$-重单纯对象.今后,对$\Delta$的一族对象$[m_1],\cdots,[m_n]$,今后将$(\Delta)^n$中的对象$([m_1],\cdots,[m_n])$另记为$[m_1]\times \cdots \times [m_n]$以便排版.
定义. 设$\cal{C}$为任意范畴, $n\in \Z_{\geq 1}$. 形如$X : (\Delta^{\opposite})^n \to \cal{C}$(或$\Delta^n \to \cal{C}$)的函子称为$\cal{C}$中的$n$重单纯对象(或$n$重余单纯对象);态射理解为它们作为函子的态射.当$n=2$时,相应的对象称为双单形(或双余单形)对象.我们将$n$重单纯对象(或$n$重余单纯对象)$X$在$[m_1]\times \cdots \times [m_n]$处的取值记为$X_{m_1,\cdots,m_n}$(或$X^{m_1,\cdots,m_n}$).

因此$n$重单纯对象由一族对象$X_{m_1,\cdots,m_n}$(其中$m_1,\cdots,m_n\in \Z_{\geq 0}$)连同其间的面态射
\[
    ^kd_i: X_{m_1,\cdots,m_n} \to X_{\cdots,m_k-1,\cdots},\quad 1\leq k \leq n,\quad 0 \leq i \leq m_k
\]
和退化态射
\[
    ^ks_j: X_{m_1,\cdots,m_n} \to X_{\cdots,m_k+1,\cdots},\quad 1\leq k \leq n,\quad 0 \leq j \leq m_k
\]
确定,条件是这些态射需要满足公式(\ref{公式:态射关系}),这无非是定义\ref{Def:单纯对象}的推广.

继续推而广之,对于$\Delta^n$中的任意态射$f: [m_1]\times \cdots \times [m_n] \to [m_1']\times \cdots \times [m_n']$,具有相应的拉回$f^* : X_{m_1,\cdots,m_n} \to X_{m_1',\cdots,m_n'}$.至于余单纯对象的情况不过对偶.
例子. 取$\cal{C} = \mathsf{Set}$,则可以定义标准$n$重单形
        \[
        \Delta^{p_1,\cdots,p_n}:= \Hom_{\Delta^n}(-,[p_1]\times \cdots \times [p_n])
        \]

在$\cal{C}$为小范畴的前提下,所有$n$重单纯对象构成范畴记为$\sf{s}^n\cal{C}$.于是$\sf{s}^1\cal{C} = \sf{s}\cal{C}$.而当$n >1$时有$\sf{s}^n \cal{C} = \sf{s}(\sf{s}^{n-1}\cal{C}) = \sf{s}^{n-1}(\sf{s}\cal{C})$等等; $n$重余单纯对象的情形以此类推.
定义. 对角函子$\delta: \sf{s}^n\cal{C} \to \sf{s}\cal{C}$映$n$重单纯对象$X$为单纯对象
        \[
        \delta(X)_m := X_{m,m,\cdots,m}
        \]
        其上的面态射和退化态射按$d_i = {\prod_k} ^k d_i$和$s_j = {\prod_k} ^ks_j$定义.在态射层次上的定义是自明的;等价的说法是$\delta(X)$定义为$X$和对角嵌入$\Delta^{\opposite}\hookrightarrow (\Delta^{\opposite})^n$的合成,余单纯对象的情况是完全对偶的.
例子. 取$(\cal{C},\otimes)$为幺半范畴,譬如$\mathsf{Set}$相对于积$\times$.对于$X_1,\cdots,X_n\in \Obj(\sf{s}\cal{C})$,按自明的方式可以定义$\sf{s}^n\cal{C}$中的对象,使得其$(m_1,\cdots,m_n)$次项为$X_{1,m_1}\otimes \cdots \otimes X_{n,m_n}$.记此$n$重单纯对象为
        \[
        X_1\boxtimes \cdots \boxtimes X_n\in \Obj(\sf{s}^n\cal{C})
        \]
        该定义不应与定义~\ref{Def:单纯对象与幺半范畴}~中的$X_1\otimes \cdots \otimes X_n \in \Obj(\sf{s}\cal{C})$混淆,两者的关联是
        \[
        X_1\otimes \cdots \otimes X_n = \delta(X_1\boxtimes \cdots \boxtimes X_n)
        \]
        一个基本的例子是取幺半范畴$(\mathsf{Set},\times)$,此时$\Delta^{p_1}\boxtimes\cdots\boxtimes \Delta^{p_n} = \Delta^{p_1,\cdots,p_n}$ 而 $\Delta^{p_1}\otimes \cdots \otimes \Delta^{p_n} = \Delta^{p_1}\times \cdots \times \Delta^{p_n}$(逐项取积给出的单形).

本节主要聚焦于双单纯集的情况.
首先, 我们将 Moore 链复形推广到双单纯集之上.
根据我们前文的定义,
在双单纯集之上具有两个维度,
因此为方便处理,
对于面态射改用以下符号
\[
    ^{\vartriangleright}d_i \coloneqq ^1d_i, ^{\vartriangle }d_i \coloneqq ^2d_i
\]
将退化态射改用以下符号
\[
    ^{\vartriangleright}s_j \coloneqq ^1s_j, ^{\vartriangle} s_j \coloneqq ^2s_j
\]
这无异于说将双单纯集平铺在二维平面上进行表示.
三角形所指向的方向即为态射的方向(分别称为水平 $\vartriangleright$ 和垂直 $\vartriangle$方向).
这样我们可以定义出其对应的二维的链复形, 称为[[双复形]].
这无非是对于水平和垂直方向分别造 Moore 链复形.
定义. 设 $\cal{A}$ 为加性范畴, $X \in \mathsf{s}^2\cal{A}$ 为双半单纯对象.
    其对应的 Moore 链双复形是 $(X_{p,q})_{p,q\in \Z_{\geq 0}}$ 连同信息
    \begin{align*}
        ^{\vartriangleright}\partial_{p,q} &\coloneqq \sum_{i= 0}^p (-1)^{i \vartriangleright}d_i \colon X_{p,q} \to X_{p-1,q},\\
        ^{\vartriangle}\partial_{p,q} &\coloneqq \sum_{i=0}^q (-1)^{i\vartriangle}d_i \colon X_{p,q} \to X_{p,q-1}.
    \end{align*}
    依照惯例, $(p,q) \notin \Z_{\geq 0}^2$ 时, $X_{p,q} \coloneqq 0$.
    由此得到的链双复形记为 $\Moore^2 X$.

不难验证该结构无论是水平方向还是垂直方向都可以构成链复形,
因此称这种结构为双链复形.
将上述定义进行推广, 得到
定义. 加性范畴 $\cal{A}$ 上的双链复形意谓 $\cal{A}$ 中的一族对象 $(X_{p,q})_{(p,q)\in \Z^2}$,
    连同态射 $^{\vartriangleright \partial_{p,q}}\colon X_{p,q} \to X_{p-1,q}$
    和 $^{\vartriangle}\partial_{p,q} \colon X_{p,q}\to X_{p,q-1}$, 满足于
    \[
        {^{\vartriangleright}\partial_{p,q}}{^{\vartriangleright}\partial_{p+1,q}} = 0,
        {^{\vartriangle}\partial_{p,q}}{^{\vartriangle}\partial_{p,q+1}} = 0,
    \]
    且具有以下交换图表
   

    上述信息可以记为 $(X_{*,*},^{\vartriangleright}\partial,^{\vartriangle}\partial)$.
那么双链复形可以表为

还可以定义它们之间的态射, 这相当于在两个网格之间以下述方块的形式进行连接

归结如下:
定义. 给定加性范畴 $\cal{A}$ 从双链复形 $Y$ 到 $X$ 的态射意谓一族态射
    \[
        f = (f_{p,q}\colon Y_{p,q}\to X_{p,q})_{(p,q)\in \Z^2}.
    \]
    使得对于所有 $p,q$ 都有
    \[
        {^{\vartriangleright}\partial_{(p+1,q),X}}\circ f_{p+1,q} = {f_{p,q}}{^{\vartriangleright}\partial_{p+1,q,Y}},
        {^{\vartriangleright}\partial_{(p,q+1),X}}\circ f_{p,q+1} = {f_{p,q}}{^{\vartriangle}\partial_{p,q+1,Y}}.
    \]
    上述关系可以简写为 $^{\vartriangleright}\partial_X f = f{^{\vartriangleright}\partial_Y}$
    以及 $^{\vartriangle}\partial_X f = f{^{\vartriangle}\partial_Y}$

双链复形所构成的范畴记为 $\Chain^2(\cal{A})$.
很显然, $\Moore^{2}X\in \Obj(\Chain^2(\cal{A}))$.
从而, 我们得到加性函子
\[
    \Moore^2 \colon \mathsf{s}^2\cal{A}\to\Chain^2(\cal{A})
\]
而后, 对于 Moore 双链复形, 不难发现我们可以通过取对角线的方式将其自然转化为链复形.
\[(\tot X)_n \coloneqq \bigoplus_{p+q = n}X_{p,q}, \]

验证其确实为链复形只需依照定义写出 $\partial_{n-1}\partial_{n}$ 即可.
让我们如上图一般拉回到 $X_{p,q}$ 上, 可以得到
\[
    \partial_{n-1}\partial_{n} \colon X_{p,q} \to X_{p-2,q}\oplus X_{p-1,q-1}\oplus X_{p,q-2}
\]
而具体写开后有
\[
    \partial_{n-1}\partial_{n}  = (^{\vartriangleright}\partial_{p-1,q}\circ{^{\vartriangleright}\partial_{p,q}}, {(-1)^{p}}{^{\vartriangleright}\partial_{p,q-1}}^{\vartriangle}{\partial_{p,q}}+{(-1)^{p-1}}{^{\vartriangle}\partial_{p-1,q}}{^{\vartriangleright}\partial_{p,q}}, (-1)^{2p-1}{^{\vartriangleright}\partial_{p,q-1}}{^{\vartriangleright}\partial_{p,q}}) = (0,0,0)
\]
从而确实为链复形. 读者也可以借此领会为何非要加上 $(-1)^p$.
当然, 我们可以如法炮制出函子 $\Moore^n \colon \mathsf{s}^n\cal{A} \to \Chain^n(\cal{A})$. \\
现在我们有(未必交换的)图表

接下来的主题在于研究

$\tot\circ \Moore^2$ 与 $\Moore \circ \delta$ 的关系.

这有助于阐释全链复形(以及全复形)的构造意义以及.
例子. 若 $\cal{A}$ 具有幺半加性范畴结构,
    即使得函子 $\otimes \colon \cal{A}\times \cal{A} \to \cal{A}$
    对于每个变元均为加性函子.
    若 $C_1, C_2 \in \Obj(\Chain_{\geq 0}(\cal{A}))$,
    可以自然地构造出双链复形 $C_1 \boxtimes C_2$.
    其 $(p,q)$ 次项为