三角剖分

hbghlyj

Massey (Algebraic Topology, Introduction, p. 34 or A Basic Course… p. 31), exercise 2
对于紧曲面的任何三角剖分，$v,e,f$为顶点数,棱数,面数，证明
1) $3 f = 2 e$
2) $e = 3 (v - \chi)$
3) $v\ge \frac{1}{2} \left(\sqrt{49-24 \chi }+7\right)$
其中 $\chi = v - e + f$.

1) 很简单, 每个面有3条棱, 每条棱属于两个面
2) 由1)可得.
3) 怎么写

hbghlyj

连接两个顶点至多有1条棱 $e\le\binom v2$
代入2)得$3(v-\chi)\le\binom v2$, 即$v^2 - 7\ v + 6\ \chi \ge 0$
解得$v\ge \frac{1}{2} \left(\sqrt{49-24 \chi }+7\right)$