$2 + 1i - 2j + 5k$ 分解质因数

hbghlyj

拉格朗日定理：每个正整数 \(n\) 都可以表示为四个整数平方的和（可以为 \(0\)）。
例如 $19=1^2+4^2+1^2+1^2$.
因此，每个整数 \(n\)，都存在一个整四元数 \(q\)，使得 \( q \cdot \overline{q} = n \)，所以整数都不是四元数意义上的质数。
一个整四元数 $q$，当且仅当 \(|q|\) 是质数时，\(q\)才是四元数意义上的质数。

---

例子：设$q=19$，$|q|=19^2$，所以$q$不是四元数意义上的质数，它可以分解质因数$$19=(1+4i+j+k)(1-4i-j-k)$$
例子：设 $q=2 + 1i - 2j + 5k$
$q$表示绕轴$(1,-2,5)$的旋转，旋转角为$2 \cos ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{34}}\right)$
$|q|=2^2+1^2+(-2)^2+5^2=34$，所以$q$不是四元数意义上的质数。
如何将它分解为质因数？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-11-20 14:32
如何将它分解为质因数？

凑出来了：wolframalpha.com/input?i=(0+3i-2j+2k)×(1+0i+1j+0k)
\[2+i -2j+ 5k=(3i -2j+2k)(1+j)\]
一般的要怎么分解呢？

hbghlyj

Factorization into irreducible elements
Every Hurwitz quaternion can be factored as a product of irreducible quaternions.
如何分解呢