二次不定方程$x^2+y^2=z^2$

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《简明数论》71页 习题九

5. 设 $n \geqslant 3$. 证明: 必有一个商高三角形以 $n$ 为其一直角边的长度.
6. 求面积等于 (i) 78 ; (ii) 360 的所有商高三角形.
7. 证明: 不定方程 $x^{2}+2 y^{2}=z^{2}$ 满足 $(x, y, z)=1$ 的全部正解是:\begin{cases}x=\left|u^{2}-2 v^{2}\right|\\ y=2 u v \\z=u^{2}+2 v^{2}\end{cases}其中 $u, v$ 是满足 $(u, v)=1,2 \nmid u$ 的任意正整数.
8. 求 $x^{4}+y^{2}=z^{2}$ 满足 $(x, y)=1$ 的全部解.
9. 求 $x^{2}+3 y^{2}=z^{2}$ 满足 $(x, y)=1$ 的全部解.
10. 证明: 不定方程 $1 / x^{2}+1 / y^{2}=1 / z^{2}$ 的解一定满足
(i) $(x, y)>1$;
(ii) $60 \mid x y$;
(iii) 所有 $(x, y, z)=1$ 的正解是:
$$
x=r^{4}-s^{4}, \quad y=2 r s\left(r^{2}+s^{2}\right), \quad z=r s\left(r^{2}-s^{2}\right),
$$
其中 $r>s>0,(r, s)=-1,2 \mid r s$, 以及交换 $x, y$.
11. 证明: $x^{4}+4 y^{4}=z^{2}$ 无 $x y z \neq 0$ 的解.
12. 证明: $x^{4}+v^{2}=z^4$ 无 $x y z \neq 0$ 的解.
13. 证明: 不定方程组 $x^{2}+y^{2}=z^{2}, x^{2}-y^{2}=w^{2}$ 无正整数解.
14. 证明以上二题中的不定方程和不定方程组两两等价.
15. 证明：商高三角形的面积一定不是整数的平方.
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10.(i)若$(x,y)=1$,则$(x^2,y^2)=1$,则$(x^2,x^2+y^2)=1,(y^2,x^2+y^2)=1$,则$(x^2y^2,x^2+y^2)=1$.
由$z^2(x^2+y^2)=x^2y^2$得$x^2+y^2|x^2y^2$,故$(x^2y^2,x^2+y^2)=x^2+y^2$,则$x^2+y^2=1$,矛盾.

施工中
Under construction