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Gauss' lemma：设$ p $为奇质数，$ a $是一个与$ p $互质的整数。考虑以下数组：$$ a,2a,3a,\dots ,{\frac {p-1}{2}}a $$取它们模$ p $的最小非负剩余。这些剩余两两不等，因此我们共有$ {\frac {p-1}{2}} $个两两不等的介于1和$ p-1 $之间的整数：$ t_{1},t_{2},t_{3},\dots ,t_{\frac {p-1}{2}} $。设其中有$ n $个数比$ {\frac {p}{2}} $大，那么$ \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n} $
若$p$为奇素数\[\left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{(p-1)/2}{\frac {\sin {(2\pi an/p)}}{\sin {(2\pi n/p)}}}\]尝试证明:
设$an$模$ p $的最小非负剩余为$s_n\in\{1,\dots,p-1\}$, 则$\frac{an}{p}-\frac{s_n}{p}\inZ\implies\sin {(2\pi an/p)}=\sin {(2\pi s_n/p)}$
设$t_n=\cases{p-s_n&if $s_n>p/2$\\s_n&if $s_n<p/2$}$
若$s_n>\frac p2$, 由$\sin(x)=-\sin(2\pi-x)$得$\sin {(2\pi t_n/p)}=-\sin {(2\pi s_n/p)}$;
若$s_n<\frac p2$, 由$s_n=t_n$得$\sin {(2\pi t_n/p)}=\sin {(2\pi s_n/p)}$.
根据Gauss' lemma有$\left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{(p-1)/2}{\frac {\sin {(2\pi s_n/p)}}{\sin {(2\pi t_n/p)}}}$
因为$t_1,\dots,t_{(p-1)/2}$为$\{1,\dots,\frac{p-1}2\}$中不同的数, 所以$t_1,\dots,t_{(p-1)/2}$为$1,\dots,\frac{p-1}2$的一个排列. 证毕.
如何说明$t_1,\dots,t_{(p-1)/2}$为$\{1,\dots,\frac{p-1}2\}$中不同的数呢?
对于任意$i,j\in\{1,\dots,(p-1)/2\}$,
若$s_i<p/2$且$s_j<p/2$, 则$t_i=s_i,t_j=s_j,s_i\ne s_j\implies t_i\ne t_j$;
若$s_i>p/2$且$s_j>p/2$, 则$t_i=p-s_i,t_j=p-s_j,s_i\ne s_j\implies t_i\ne t_j$;
下面考虑$s_i,s_j$在$p/2$两边的情形, 设$s_i<p/2$且$s_j>p/2$, 则$t_i=s_i,t_j=p-s_j,s_i+s_j\le\frac{p-1}2+\frac{p-1}2<p\implies t_i\ne t_j$
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