对任意整数 $n\inN$, 令 $a_n=2^{2⋅3^n}-2^{3^n}+1$

业余的业余

命题: $-2$ 是模 $p$的二次剩余 当且仅当 $p=2$ 或 $p\equiv 1 \text{ or } 3\text{ mod }8$.

问题: 对整数 $n\in\mathbb{N}$, 令 $a_n=2^{2\cdot 3^n}-2^{3^n}+1.$

• 求证对任意 $n\in\mathbb{N}, \nu_3(a_n)=1$.
• 求证对任意 $n\in\mathbb{N}, a_n$ 有大于 $3$ 且与 $3$ mod $8$ 同余的质因数。
• 求证对任意正整数 $i<j,\gcd(a_i,a_j)=3$.
• 求证对任意正整数 $n$, 数 $2^{3^n}+1$ 至少有 $n$ 个 $8k+3$ ($k$ 是某个整数) 型的不同的质因数。
  

业余的业余

(a). \begin{align*}
a_n &= \left(2^{3^n}+1\right)^2-3\cdot 2^{3^n}\\
&\equiv 0\pmod{3}\\
&\equiv 3\pmod{9}
\end{align*}

显然有 $\nu_3(a_n)=1$.

业余的业余

(b). 假设素数 $p$ 是 $2^{3^{n+1}}+1$ 的质因数，我们有\begin{align*}
        p\mid 2^{3^{n+1}}+1 &\implies 2^{3^{n+1}}\equiv-1\pmod{p}\\
        &\implies 2\cdot 2^{3^{n+1}+1}\equiv -2\pmod{p}\\
        &\implies \left(2^{\left(3^{n+1}+1\right)/2}\right)^2\equiv-2\pmod{p}
\end{align*}

根据主贴所列关于 $-2$ 是模 $p$ 二次剩余的命题，又 $p\ne 2$, 可知 $2^{3^{n+1}}+1$ 的所有质因数都是 $8k+3$ 或 $8k+1$ 型。

注意到 $2^{3^{n+1}}+1=\left(2^{3^n}+1\right)\left(2^{2\cdot3^n}-2^{3^n}+1\right)=\left(2^{3^n}+1\right)a_n$, 意味着所有 $a_n$ 的质因数都是 $2^{3^{n+1}}+1$ 的质因数。可知 $a_n$ 的所有质因数都是 $8k+1$ 或 $8k+3$ 型。我们说 $a_n$ 至少有一个大于 $3$ 的质因数，因为否则 $a_n=3^{\nu_3(a_n)}=3$为常数，显然与 $a_1=57$ 矛盾。现只需证明 $a_n$ 所有大于 $3$ 的质因数中有至少一个 $8k+3$ 型的。这是显然的，因为 $a_n=3p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$, 其中 $k$和$e_1,\cdots, e_k$ 都是正整数， 且 $p_i>3$. 如果所有的 $p_i$ 都是 $8k+1$ 型的，则 $a_n$ 必为 $8k+3$ 型的，这与 $a_n\equiv1\pmod{8}$ 矛盾。

业余的业余

(c). 在 (b) 的证明过程中，我们有这个结论 $a_n=\dfrac{2^{3^{n+1}}+1}{2^{3^n}+1}$. 如果 $p\mid a_n$ 那么 $p\mid 2^{3^{n+1}}+1$.

假设 $p$ 是 $a_i$ 的质因数，则 $p\mid 2^{3^{i+1}}+1\implies 2^{3^{i+1}}\equiv -1\pmod{p}$. 于是
\begin{align*}
        a_j&=2^{2\cdot 3^j}-2^{3^j}+1\\
           &\equiv \left(2^{3^{i+1}}\right)^{2\cdot 3^{j-i-1}}-\left(2^{3^{i+1}}\right)^{3^{j-i-1}}+1\pmod{p}\\
           &\equiv (-1)^{2\cdot 3^{j-i-1}}-(-1)^{3^{j-i-1}}+1\pmod{p}\\
           &\equiv 3\pmod{p}
\end{align*}

显然有 $\gcd(a_i,a_j)=3$.


(d). 由 $2^{3^{n+1}}+1=\left(2^{3^n}+1\right)a_n$, 有\begin{align*}
2^{3^{n}}+1&=\left(2^{3^{n-1}}+1\right)a_{n-1}\\
2^{3^{n-1}}+1&=\left(2^{3^{n-2}}+1\right)a_{n-2}\\
        &\vdots\\
2^{3^2}+1&=\left(2^{3^1}+1\right)a_1
\end{align*}
以上格式两边相乘，化简有\[2^{3^n}+1=9a_1a_2\cdots a_{n-1}.\]
由 (b),(c)知，$a_1,\cdots, a_{n-1}$ 中的每个都至少有一个独有的大于 $3$的 $8k+3$ 型的质因数，加上 $3$，一共至少有 $n$ 个两两不同的 $8k+3$ 型的质因数。