怎么证明函数图像不是中心对称图像

hjfmhh

已知函数 $f(x)=\mathrm e^{\sin x-\cos x}+\mathrm e^{\cos x-\sin x}$,则下列说法正确的是(BD)
A. $f(x)$的图象是中心对称图形
B. $f(x)$的图象是轴对称图形
C. $f(x)$是周期函数,且最小正周期为$2\pi$
D. $f(x)$存在最大值与最小值

没看明白答案的意思

D 正确．对于 A，因为 $f\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\mathrm{e}^{-\sqrt{2} \cos x}+$ $\mathrm{e}^{\sqrt{2} \cos x}=f\left(-x-\frac{\pi}{4}\right)$ ，所以函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi}{4}$ 对称，由上分析知函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{4}$ 对称，因为 $t=\sqrt{2} \sin (x-\frac{\pi}{4})$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上单调递增，且当 $x \in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ 时，$t=\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \in[-\sqrt{2}, 0]$ ，函数 $g(t)=\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}$ 在 $[-\sqrt{2}, 0]$ 上单调递减，所以 $f(x)=\mathrm{e}^{\sin x-\cos x}+\mathrm{e}^{\cos x-\sin x}$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上单调递减，由对称性、周期性可得，若函数 $f(x)$ 的图象有对称中心，则点 $(0, f(0))$ 为其一个对称中心，而 $f(0)=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}$, $f(x)+f(-x)=\mathrm{e}^{\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}+\mathrm{e}^{\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}+\mathrm{e}^{\sqrt{2} \sin \left(-x-\frac{\pi}{4}\right)}+\mathrm{e}^{\sqrt{2} \cos \left(-x+\frac{\pi}{4}\right)} \neq 2 f(0)$，故 $f(x)$ 的图象没有对称中心，故 A 错误．故选 BD．

hjfmhh

图像是这样的，怎么证明它不是中心对称图形

kuing

只需证明：正数 `a\ne1`，则 `g(x)=a^{\sin x}+a^{-\sin x}` 不是中心对称函数。

易知 `g(x)` 当 `x=k\pi` 时取最小值，当 `x=k\pi+\pi/2` 时取最大值，除这两类点以外，再无其他最值点。

假设 `\bigl(t,g(t)\bigr)` 为 `g(x)` 的对称中心，则 `g(t-x)+g(t+x)=2g(t)` 对任意 `x` 恒成立，由此可知：如果 `t-x` 是最小（大）值点，则 `t+x` 是最大（小）值点，因此 `t` 一定是最大值点与最小值点的中点，即
\[t=\frac{k_1\pi+k_2\pi+\pi/2}2=\frac{k\pi}2+\frac\pi4,\quad k=k_1+k_2\in\mbb Z,\]
直接检验可知 `t=\pi/4` 与 `t=3\pi/4` 时 `g(t-x)+g(t+x)` 都不是常数，不满足中心对称，又 `g(x)` 的周期为 `\pi`，所以 `t=k\pi/2+\pi/4` 都不满足，因此 `g(x)` 不是中心对称函数。

hjfmhh

kuing 发表于 2025-4-8 23:24
只需证明：正数 `a\ne1`，则 `g(x)=a^{\sin x}+a^{-\sin x}` 不是中心对称函数。

易知 `g(x)` 当 `x=k\pi` ...

谢谢kuing，请问这句话怎么理解“如果t-x是最小值点，则t+x是最大值点”。是由假设（t,g(t)）为g(x)的对称中心，最高点关于对称中心的对称点是最低点得出来的吗？

kuing

hjfmhh 发表于 2025-4-9 14:14
谢谢kuing，请问这句话怎么理解“如果t-x是最小值点，则t+x是最大值点”。是由假设（t,g(t)）为g(x)的对称 ...

是因为 `g(t-x)+g(t+x)=2g(t)` 呀
`g(t-x)`, `g(t+x)` 是两个变量，它俩之和 `=2g(t)` 是一个常数，那其中一项最小时，另一项便是最大时。

hjfmhh

kuing 发表于 2025-4-9 14:23
是因为 `g(t-x)+g(t+x)=2g(t)` 呀
`g(t-x)`, `g(t+x)` 是两个变量，它俩之和 `=2g(t)` 是一个常数，那其中 ...

谢谢kuing,看明白了，再请教一下这个问题
$g(x)=a^{\sin x}+a^{-\sin x}, ~ g\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+g\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$ 不是常数，是不是下面这样直接检验？还有其他方法吗？
$$
\begin{aligned}
& g\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+g\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=a^{\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}+a^{-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}+a^{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}+a^{-\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)} \triangleq \varphi(x) \\
& x=\frac{\pi}{4} \text { 时, } \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)=2+a+a^{-1} \\
& x=\frac{\pi}{12} \text { 时, } \varphi\left(\frac{\pi}{12}\right)=a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{\sqrt{3}}{2}}+a^{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
& x=0 \text { 时, } \varphi(0)=2\left(a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}+a^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) \\
& \text {当正数 } a \neq 1 \text { 时 } \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right) \neq \varphi\left(\frac{\pi}{12}\right) \neq \varphi(0) \quad \therefore g\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+g\left(\frac{\pi}{4}+x\right) \text { 不是常数 }
\end{aligned}
$$

kuing

hjfmhh 发表于 2025-4-9 15:37
谢谢kuing,看明白了，再请教一下这个问题

还可以这样：对 `g(t-x)+g(t+x)=2g(t)` 两边求二阶导数有 `g''(t-x)+g''(t+x)=0`，令 `x=0` 得 `g''(t)=0`，即对称中心处的二阶导数必为零。

求导计算得
\begin{align*}
(a^{\sin x})'&=a^{\sin x}\cos x\ln a,\\
(a^{\sin x})''&=(\cos^2x\ln a-\sin x)a^{\sin x}\ln a,\\
\riff g''(x)&=\bigl((\cos^2x\ln a-\sin x)a^{\sin x}+(\cos^2x\ln a+\sin x)a^{-\sin x}\bigr)\ln a,
\end{align*}
故
\[g''\left(\frac\pi4\right)=\left(\left(\frac12\ln a-\frac1{\sqrt2}\right)a^{1/\sqrt2}+\left(\frac12\ln a+\frac1{\sqrt2}\right)a^{-1/\sqrt2}\right)\ln a,\]
令 `a=b^{\sqrt2}`，其中正数 `b\ne1`，则上式化为
\begin{align*}
g''\left(\frac\pi4\right)&=\left((\ln b-1)b+(\ln b+1)\frac1b\right)\ln b\\
&=\left(\ln b-\frac{b^2-1}{b^2+1}\right)\frac{b^2+1}b\ln b,
\end{align*}
熟知 `x>1` 时 `\ln x>2(x-1)/(x+1)`，`0<x<1` 时 `\ln x<2(x-1)/(x+1)`，所以当 `b\ne1` 时必有 `g''(\pi/4)>0`，这样就证明了 `t=\pi/4` 不符合。

同理 `g''(3\pi/4)` 也是一样的结果。

hjfmhh

kuing 发表于 2025-4-9 20:37
还可以这样：对 `g(t-x)+g(t+x)=2g(t)` 两边求二阶导数有 `g''(t-x)+g''(t+x)=0`，令 `x=0` 得 `g''(t)=0` ...

嗯，看明白了，非常感谢