跟踪

hbghlyj

见 SwitWu chapter02.tex第220行
设某 $A$ 从 $Oxy$ 平面上的原点出发, 沿 $x$ 轴正方向前进; 同时某 $B$ 从点 $(0,b)$ 开始跟踪 $A$,
即 $B$ 的运动方向永远指向 $A$ 并与 $A$ 保持等距 $b$. 试求 $B$ 的光滑运动轨迹.$\def\diff{\mathrm d}$
[解]
设 $B$ 的运动轨迹方程为 $y=y(x)$, 记某时刻 $B$ 的位置为 $(x,y(x))$,
则此时 $A$ 相应的位置为 $\left(x-\frac{y(x)}{y'(x)},0\right)$, 由于 $A$ 与 $B$ 保持等距, 故
\[\left(\frac{y}{y'}\right)^2+y^2=b^2\Rightarrow\diff x=-\frac{\sqrt{b^2-y^2}}{y}\diff y.\]
积分得
\begin{aligned}
x
& = -\int\frac{\sqrt{b^2-y^2}}{y}\diff y(y=b\cos\theta) \\
& = -\int\frac{b\sin\theta}{b\cos\theta}(-b\sin\theta)\diff\theta \\
& = b\int(\sec\theta-\cos\theta)\diff\theta \\
& = b\ln|\sec\theta+\tan\theta|-b\sin\theta+C \\
& = b\ln\frac{b+\sqrt{b^2-y^2}}{y}-\sqrt{b^2-y^2}+C.
\end{aligned}由初值条件 $y(0)=b$ 得 $C=0$, 故 $B$ 的光滑运动轨迹方程为
$$x=b\ln\frac{b+\sqrt{b^2-y^2}}{y}-\sqrt{b^2-y^2}$$

色k

就是我以前玩过的❝单车轨迹问题❞ kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5909 ❨1楼的最后，还有动图❩

hbghlyj

《常微分方程教程》习题2-2,4一个跟踪问题.pdf
设在时刻 $t$ 的时候 $A$ 位于 $(f(t),0)$. 其中 $f(0)=0$, 且 $f(t)$ 是关于 $t$ 的严格单调增函数. 设在时刻 $t$ 的 $B$ 位于 $(P(t),Q(t))$, 其中 $P(0)=0,Q(0)=b$. 不妨设 $b\neq 0$, 否则 $B$ 的运动将与 $A$ 重合, 这是没什么意思的, 再根据对称性不妨设 $b>0$. 且由于 $B$ 的路径光滑, 因此关于 $t$ 的函数 $P,Q$ 都是连续可微的. 由于 $B$ 的方向一直指向 $A$, 因此
\begin{equation}
  \label{eq:10.51}
  (P'(t),Q'(t))=k(f(t)-P(t),-Q(t)).
\end{equation}
其中 $k>0$.由于 $A,B$ 间距始终为 $b$,因此
\begin{equation}
  \label{eq:10.52}
  [P(t)-f(t)]^2+Q(t)^2=b^2.
\end{equation}
当 $Q(t)\neq 0$ 时, $Q'(t)\ne0$. 此时将 \eqref{eq:10.51} 代入 \eqref{eq:10.52} 可得
\[(P'(t))^2+(Q'(t))^2=b^2k^2=b^2\frac{Q'(t)^{2}}{Q(t)^{2}}.\]
于是我们就得到了微分方程
\[(\frac{P'(t)}{Q'(t)})^2+1=\frac{b^2}{Q(t)^2}.\]
也就是
$$
(\frac{dP(t)}{dQ(t)})^2+1=\frac{b^2}{Q(t)^2}.
$$
也即
$$
\frac{dx}{dy}=-\sqrt{(\frac{b}{y})^2-1}.
$$
令 $\frac{b}{y}=\cosh a$.其中 $a\in \mathbf{R}^{+}$,于是,
$$
\frac{dy}{da}=\frac{-b\tanh a}{\cosh a}.
$$
且
$$
\frac{dx}{dy}=-\sinh a.
$$
因此,
$$
\frac{dx}{da}=b(\tanh a)^2=b-b\tanh'a.
$$
因此,
$$
x=ba-b\tanh a+C.
$$
因此,
$$
x=b\cosh^{-1}\frac{b}{y}-b\tanh(\cosh^{-1}\frac{b}{y})+C.
$$
将初始条件 $x=0,y=b$ 代入,解得 $C=0$.于是 $B$ 的光滑轨迹为
$$
x=b\cosh^{-1}\frac{b}{y}-b\tanh(\cosh^{-1}\frac{b}{y}).
$$
通过这个方程, 我们发现 $B$ 的运动轨迹和 $A$ 的运动无关!

当 $Q(t)=0$ 时, 易得 $B$ 已经和 $A$ 同在 $x$ 轴上运动.

hbghlyj

1#和3#最后的轨迹方程是一样的吗