已知积分曲线, 求微分方程

hbghlyj

丁同仁《常微分方程》第二版 §1.1 微分方程及其解的定义
【例 2】试求在 $(x, y)$ 平面上过坐标原点的一切圆所满足的微分方程.
平面上经过原点的圆族具有方程:
$$
(x+a)^2+(y+b)^2=a^2+b^2,\tag{1.16}
$$
其中 $a$ 和 $b$ 是两个任意常数. 在 (1.16) 中, 把 $y$ 看成 $x$ 的函数, 再对 $x$ 接连求导两次, 并且把求导结果与 (1.16) 联立, 我们得到:
$$\tag{1.17}
\left\{\begin{array}{l}
(x+a)+(y+b) y^{\prime}=0, \\
1+y^{\prime 2}+(y+b) y^{\prime \prime}=0, \\
x^2+2 a x+y^2+2 b y=0 .
\end{array}\right.
$$
然后, 从 (1.17) 中消去 $a$ 和 $b$, 就得到所求的微分方程为:
$$
\left(x^2+y^2\right) y^{\prime \prime}-2\left(1+y^{\prime 2}\right)\left(x y^{\prime}-y\right)=0 .
$$
习题1-1,3,(3)
求平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程.

解

平面上以原点为中心的任意圆为
\begin{equation}
    \label{eq:10.09pm}
    x^2+y^2=r^2
\end{equation}
其中 $r$ 是任意非零实数.将 $y$ 看作 $x$ 的隐函数,则得
\begin{equation}
  \label{eq:10.21pm}
  2x+2yy'=0.
\end{equation}
即
\begin{equation}
  \label{eq:10.22pm}
  x+yy'=0.
\end{equation}
此即以原点为中心的一切圆所满足的微分方程.

习题1-1,3,(4)
试求平面上一切圆所满足的微分方程.

解

平面上的任意圆的一般方程为
\begin{equation}
    \label{eq:10.28pm}
    (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,r\in \mathbf{R}^{+}.
\end{equation}
将 $y$ 看作 $x$ 的隐函数,可得
\begin{align}
(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\label{11a}\\
(x-a)+(y-b)y'&=0\label{11b}\\
1+y'^2+(y-b)y''&=0\label{11c}
\end{align}
将式 \eqref{11b} 两边同时乘以 $y''$,可得
\begin{equation}
  \label{eq:11.05am}
  (x-a)y''+(y-b)y''y'=0.
\end{equation}
将式 \eqref{11c} 代入式 \eqref{eq:11.05am} 可得
\begin{equation}
  \label{eq:11.06am}
  (x-a)y''=(1+y'^2)y'.
\end{equation}
将式 \eqref{11a} 两边同时乘以 $y''^2$,可得
\begin{equation}
  \label{eq:11.08am}
  [(x-a)y'']^2+[(y-b)y'']^2=r^2y''^2.
\end{equation}
将式 \eqref{11c},\eqref{eq:11.06am} 代入 \eqref{eq:11.08am},可得
\begin{equation}
  \label{11.10am}
  (1+y'^2)^{3}=r^2y''^2.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
  \label{eq:11.17am}
  \frac{(1+y'^2)^3}{y''^2}=r^2.
\end{equation}
将式子 \eqref{eq:11.17am} 两边对 $x$ 求导,最终可得
\begin{equation}
  \label{eq:11.19am}
3y'y''^2-(1+y'^2)y'''=0.
\end{equation}
式 \eqref{eq:11.19am} 就是平面上一切圆所满足的微分方程.

习题1-1,3,(1)
求出抛物线族 $y=Cx+x^2$ 所满足的微分方程.

解

观察到 $y=Cx+x^2$ 只有一个独立常数,因此只用求一次导即可,\begin{equation}
    \label{eq:12.06pm}
    y'=C+2x.
  \end{equation}
将 \eqref{eq:12.06pm} 代入 $y=Cx+x^2$,可得
\begin{equation}
  \label{eq:12.07pm}
  y=y'x-x^{2}.
\end{equation}
式 \eqref{eq:12.07pm} 为欲求微分方程.
评论:
虽说 $y=Cx+x^2$ 既满足 $y''=2$ 又满足 $y=y'x-x^{2}$,但是还是后者更适合.因为前者太宽泛了.否则,如果说 $y''=2$ 也是答案的话,那么 $y'''=0,y''''=0$都是答案了,这显然过于平凡,不是我们要求的.

习题1-1,3,(2)
求曲线族 $y=C_1e^x+C_2xe^x$ 所满足的微分方程.  

解

可得\begin{equation}
    \label{eq:9.24pm}
    \begin{cases}
      y=\phi(x,C_{1},C_{2})=C_1e^x+C_2xe^x,\\
y'=\phi'(x,C_{1},C_{2})=C_1e^x+C_2e^x+C_2xe^x
    \end{cases}
  \end{equation}
且
\begin{equation}
  \label{eq:9.26pm}
  y''=C_1e^x+2C_2e^x+C_2xe^x.
\end{equation}
由式 \eqref{eq:9.24pm} 可得雅可比行列式
\begin{equation}
  \label{eq:9.28pm}
  \begin{vmatrix}
    \frac{\partial \phi}{\partial C_1}&\frac{\partial \phi}{\partial
      C_2}\\
\frac{\partial \phi'}{\partial C_{1}}&\frac{\partial \phi'}{\partial C_2}
  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
    e^x&xe^x\\
e^x&e^x+xe^x
  \end{vmatrix}=e^{2x}\neq 0.
\end{equation}
因此 $C_1,C_2$ 是独立的.因此可以反解出
\begin{equation}
  \label{eq:9.39pm}
  \begin{cases}
    C_2=\frac{y'-y}{e^x}\\
C_1=\frac{y+xy-xy'}{e^x}\\
  \end{cases}.
\end{equation}
将式 \eqref{eq:9.39pm} 代入式 \eqref{eq:9.26pm},可得
\begin{equation}
  \label{eq:10.05pm}
  y''=2y'-y.
\end{equation}
式 \eqref{eq:10.05pm} 即为曲线族 $y=C_1e^x+C_2xe^x$ 所满足的微分方程.

hbghlyj

习题1-1,4
设 $ y=g(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$ 是一个充分光滑的函数族, 其中 $x$ 是自变量, 而 $ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 是 $ n$ 个独立的参数, 则存在一个形如$$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$$的 $ n$ 阶微分方程, 使得它的通解恰好是上述函数族.
证明: 可得
\[\begin{cases} y=g(x,C_1,\cdots,C_n),\\
y^{(1)}=g^{(1)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\
y^{(2)}=g^{(2)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \vdots\\
y^{(n-1)}=g^{(n-1)}(x,C_1,\cdots,C_n) \end{cases}\]
以及
\begin{equation}y^{(n)}=g^{(n)}(x,C_1,\cdots,C_n)\label{eq:2}\end{equation}
由于常数 $ C_1,\cdots,C_n$ 独立, 因此我们可以反解出
\begin{equation}\begin{cases}
C_1=p_1(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)}),\\
C_2=p_2(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)}),\\ \vdots\\
C_n=p_n(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)})\\ \end{cases}
\label{eq:3}\end{equation}
其中 $ p_1,p_2,\cdots,p_n$ 都是从 $ \mathbf{R}^n$ 到 $ \mathbf{R}$ 的函数. 将式 \eqref{eq:3} 代入 \eqref{eq:2},得到
\begin{equation}y^{(n)}=g^{(n)}(x,p_1(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)}),\cdots,p_n(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)})). \label{eq:4}\end{equation}式 \eqref{eq:4} 即为我们所求的微分方程.