第二问的第一问

hjfmhh

已知定义域为 $D$ 的函数 $g(x)$，且存在定义域为 $D$ 的单调函数 $f(x)$ ，使得 $f[f(x)+g(x)]=t$，（$t$ 是常数）．
（I）若 $t=1, g(x)=1-x$，求 $f(x)$ 的解析式；
（II）若 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2&, 0 \leq x<1 \\ g(x-1)+m+1&,1 \leq x<3\end{array}\right.$
（i）求实数 $m$ 的取值范围；
（ii）对于给定的实数 $m$，求实数 $t$ 的取值的集合．
第二问的第一小问

hbghlyj

第一步：从函数方程推导 \(g(x)\) 的性质
设 \(h(x) = f(x) + g(x)\)。则原方程可以写作 \(f(h(x)) = t\)。 因为 \(f(x)\) 是一个定义在 \(D\) 上的单调函数，所以 \(f(x)\) 是一个单射。
对于任意的 \(x_1, x_2 \in D\)，我们都有 \(f(h(x_1)) = t\) 和 \(f(h(x_2)) = t\)。 根据 \(f(x)\) 单射，我们可以得出 \(h(x_1) = h(x_2)\)。 这表明 \(h(x)\) 对于定义域 \(D\) 中所有的 \(x\) 都取相同的值，即 \(h(x)\) 是一个常数函数。
因此，存在一个常数 \(c\)，使得 \(h(x) = f(x) + g(x) = c\) 对所有 \(x \in D\) 成立。
第二步：将 \(f(x)\) 的单调性转化为 \(g(x)\) 的单调性
从 \(f(x) + g(x) = c\)，我们可以得到 \(f(x) = c - g(x)\)。 题目已知 \(f(x)\) 是一个单调函数。一个函数 \(f(x)\) 是单调的，当且仅当 \(-f(x)\) 也是单调的。 所以，\(f(x) = c - g(x)\) 是单调函数，等价于 \(-(c - g(x)) = g(x) - c\) 是单调函数。 一个函数加上或减去一个常数不改变其单调性，所以 \(g(x) - c\) 是单调函数等价于 \(g(x)\) 是单调函数。
综上所述，题目中存在一个单调函数 \(f(x)\) 的条件，等价于函数 \(g(x)\) 在其定义域 \(D\)上是单调的。
第三步：分析 \(g(x)\) 的单调性，求出 \(m\) 的范围
在第（II）问中，函数 \(g(x)\) 的定义域为 \(D=[0, 3)\)，其表达式为： \(g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2&, 0 \leq x<1 \\ g(x-1)+m+1&,1 \leq x<3\end{array}\right.\)
我们首先需要得到 \(g(x)\) 在整个定义域 \([0, 3)\) 上的完整表达式。 1. 当 \(0 \le x < 1\) 时，\(g(x) = x^2\)。 2. 当 \(1 \le x < 2\) 时，\(x-1 \in [0, 1)\)。根据递推关系，\(g(x) = g(x-1) + m+1 = (x-1)^2 + m+1\)。 3. 当 \(2 \le x < 3\) 时，\(x-1 \in [1, 2)\)。根据递推关系，\(g(x) = g(x-1) + m+1\)。此时 \(g(x-1)\) 的表达式是第二段的形式，即 \(g(x-1) = ((x-1)-1)^2 + m+1 = (x-2)^2 + m+1\)。所以，\(g(x) = [(x-2)^2 + m+1] + m+1 = (x-2)^2 + 2(m+1)\)。
于是，\(g(x)\) 的分段表达式为： \(g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2&, 0 \leq x<1 \\ (x-1)^2 + m+1&,1 \leq x<2 \\ (x-2)^2 + 2m+2&,2 \leq x<3 \end{array}\right.\)
为了使 \(g(x)\) 在 \([0, 3)\) 上是单调函数，它必须是单调不增或单调不减的。

• 情况一：\(g(x)\) 单调不增 在区间 \([0, 1)\) 上，\(g(x) = x^2\)。其导数为 \(g'(x) = 2x\)。当 \(x \in (0, 1)\) 时，\(g'(x) > 0\)，所以 \(g(x)\) 在此区间上是严格单调递增的。这与 \(g(x)\) 单调不增矛盾。因此，\(g(x)\) 不可能是单调不增函数。
• 情况二：\(g(x)\) 单调不减 我们已经看到，在每个子区间 \((0, 1)\)，\((1, 2)\)，\((2, 3)\) 内部，\(g(x)\) 都是递增的。要使 \(g(x)\) 在整个定义域 \([0, 3)\) 上单调不减，我们必须确保在分段点处函数值不会“跳水”，即后一段的起始值必须不小于前一段的结束值。
  
  
  • 在 \(x=1\) 处，需要满足 \(g(1) \ge \lim_{x \to 1^-} g(x)\)。 \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1\)。 \(g(1) = (1-1)^2 + m+1 = m+1\)。 所以，不等式为 \(m+1 \ge 1\)，解得 \(m \ge 0\)。
  • 在 \(x=2\) 处，需要满足 \(g(2) \ge \lim_{x \to 2^-} g(x)\)。 \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} [(x-1)^2 + m+1] = (2-1)^2 + m+1 = 1 + m+1 = m+2\)。 \(g(2) = (2-2)^2 + 2m+2 = 2m+2\)。 所以，不等式为 \(2m+2 \ge m+2\)，解得 \(m \ge 0\)。

综合以上两个条件，要使 \(g(x)\) 在 \([0, 3)\) 上单调，必须有 \(m \ge 0\)。
结论
当且仅当 \(m \ge 0\) 时，\(g(x)\) 是 \([0, 3)\) 上的单调函数，从而保证了满足题意的单调函数 \(f(x)=c-g(x)\) 的存在性。 因此，实数 \(m\) 的取值范围是 \([0, +\infty)\)。