四倍角

Tesla35

纯几何法最好，三角法也可接受

Aluminiumor

三角法：

设 $\angle BAD=\theta$. 设 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$. 设 $\angle CED=\alpha,CD=2x,BC=3x$
$$\tan\alpha=\frac{AB}{BE}=\frac{5}{3\tan\theta}$$
在 $\triangle BCD$ 中
$$BD^2=(2x)^2+(3x)^2-2\cdot2x\cdot3x\cos4\theta\Longrightarrow\left(13-12\cos4\theta\right)x^2=100$$
在 $\triangle CDE$ 中
$$\frac{2x}{\sin\alpha}=\frac{4}{\sin2\theta}\Longrightarrow x^2=\frac{4\sin^2\alpha}{\sin^22\theta}=\frac{4}{\sin^22\theta}\cdot\frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$$
联立可求得
$$\left(7\tan^2\theta-1\right)\left(5\tan^2\theta+1\right)=0\Longrightarrow \tan^2\theta=\frac17$$
$$AD^2=AB^2+BD^2=\frac{10^2}{\tan^2\theta}+10^2=800\Longrightarrow AD=20\sqrt{2}$$

kuing

我也来个三角法：

记 `\angle BAC=x`, `\angle BAD=y`，设 `AC` 与 `BD` 交于 `E`，则
\[\frac{\tan x}{\tan y}=\frac{BE}{BD}=\frac35,\quad(1)\]
由四倍角及平分线知 `\angle ACB=\angle ACD=2y`，由此不难计算出 `\angle CBD=90\du-x-2y`, `\angle CDB=90\du+x-2y`，于是
\[\frac23=\frac{CD}{CB}=\frac{\sin(90\du-x-2y)}{\sin(90\du+x-2y)}=\frac{\cos(x+2y)}{\cos(x-2y)}=\frac{1-\tan x\tan2y}{1+\tan x\tan2y},\]
由此得
\[\tan x\tan2y=\frac15,\]
再将式 (1) 代入，即
\[3\tan y\tan2y=1\iff\frac{6\tan^2y}{1-\tan^2y}=1\iff\tan^2y=\frac17,\]
下略。