单射多项式 $P: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ 必是满射

hbghlyj

定义：我们说 $P: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ 是一个多项式，如果
\[
P\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(P_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, P_n\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)
\]
其中每个 $P_i \in \mathbb{C}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$.
这意味着在每个坐标上的单个映射 $P_i$ 是 $n$ 个变量的多项式。

Ax-Grothendieck 定理：如果多项式 $P: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ 是一个单射，那么它也必须是满射。

n=1 情况很容易证：
如果 $P: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个单射多项式，那么 $P$ 是满射。
证明：如果 $P$ 是单射，那么它不是常数。因此，对于任何 $z_0 \in \mathbb{C}$，我们有 $P(z)-z_0$ 是一个非常数多项式。根据代数基本定理，这个多项式有一个根，所以对于某些 $z \in \mathbb{C}$，$P(z)-z_0=0$。因此，$P(z)$ 是满射。

hbghlyj

符号：我们有时可能会将 $P\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in$ $F\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 写为 $P(\vec{x})$，将 $P\left(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\right) \in F\left[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\right]$ 写为 $P(\vec{x}, \vec{y})$。

证明的主要思想：用 Nullstellensatz 将多项式的单射性和满射性转换为多项式恒等式。

引理 1. 多项式 $P: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$，且 $P=\left(P_1, \ldots, P_n\right)$ 是单射 当且仅当存在 $Q_{i, j} \in \mathbb{C}\left[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\right]$ 和 $r_j \geq 1$ 使得 $\sum_{i=1}^n\left(P_i(\vec{x})-P_i(\vec{y})\right) Q_{i, j}(\vec{x}, \vec{y})=\left(x_j-y_j\right)^{r_j}$ 对所有 $1 \leq j \leq n$ 成立。

证明. 如果上述恒等式成立，那么显然 $P_i(\vec{x})-P_i(\vec{y})=0$ 对所有 $i$ 成立意味着 $x_j-y_j=0$ 对所有 $j$ 成立，即 $\vec{x}-\vec{y}=0$，所以恒等式意味着单射性。

反之，假设 $P$ 是单射的。这意味着如果 $P_i(\vec{x})-P_i(\vec{y})=0$ 对所有 $i$ 同时成立，那么 $\vec{x}-\vec{y}=0$，即 $x_j-y_j=0$ 对所有 $j$ 成立。固定 $j$。由 Nullstellensatz 存在多项式 $Q_{i, j} \in \mathbb{C}\left[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\right]$ 和 $r_j \geq 1$ 使得 $\sum_{i, j=1}^n\left(P_i(\vec{x})-P_i(\vec{y})\right) Q_{i, j}(\vec{x}, \vec{y})=\left(x_j-y_j\right)^{r_j}$。

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同样，我们使用多项式方程表示缺乏满射性。
引理 2. 多项式 $P: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$，且 $P=\left(P_1, \ldots, P_n\right)$ 不是满射 当且仅当存在 $z_0 \in \mathbb{C}^n$ 和 多项式 $R \in \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ 使得 $\left(P(\vec{x})-z_0\right) R(\vec{x})=1$（因此 $R$ 是常数多项式）。

证明. 如果最后一个方程成立，那么 $P(\vec{x}) \neq z_0$ 对所有 $\vec{x} \in \mathbb{C}^n$ 成立，所以 $P$ 不是满射的。
反之，如果 $P$ 不是满射的，那么存在 $z_0 \in \mathbb{C}^n$ 使得 $P(\vec{x})-z_0 \neq 0$ 对任何 $\vec{x} \in \mathbb{C}^n$ 成立。由 Nullstellensatz 存在 $R(\vec{x}) \in \mathbb{C}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 使得 $\left(P(\vec{x})-z_0\right) R(\vec{x})=1$。

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一个重要的观察是，引理的两个方向中，第一个方向(由多项式恒等式推出单射性或缺乏满射性)更容易证明。事实上，在这种情况下，Nullstellensatz 根本没有被使用，所以这些推论在任何域上都成立，而不仅仅是代数闭域。这对于定理的证明至关重要。

terrytao.wordpress.com/2009/03/07/infinite-fields-finite-fields- ... rothendieck-theorem/
Ax-Grothendieck定理. 如果多项式 $P: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ 是一个单射，那么 $P$ 是满射。
证明. 假设 $P$ 是单射但不是满射的。那么我们可以从引理 1 和 2 中形成多项式的集合：$\left\{Q_{i, s}, R, z_0\right\}$ 并取其系数的集合 $\mathcal{C}$。这是 $\mathbb{C}$ 的一个有限子集。考虑 $\mathbb{Z}[\mathcal{C}]$，这是由 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathcal{C}$ 生成的 $\mathbb{C}$ 的子环。设 $\mathfrak{m}$ 是一个极大理想。那么（证明留作练习）$\mathbb{Z}[\mathcal{C}] / \mathfrak{m}$ 是一个有限域。使用引理 1 和 2 创建的多项式方程的约简在这些有限域上成立，这意味着约简映射 $\bar{P}$ 是从有限域 $\mathbb{Z}[\mathcal{C}] / \mathfrak{m}$ 到自身的映射（留作练习：为什么这有效？）它是单射但不是满射的，这与“有限集到自身的单射必须也是满射”矛盾。