有理函数$f,g$满足$f^2 = g(g-1)(g-\lambda)$ 则 $f,g$ 是常数

hbghlyj

2.2 The curve $(y^2 = x(x-1)(x-\lambda))$ has no rational parametrisation
设 $\lambda\in \mathbb{R}$ 且 $\lambda\ne 0, 1$，设 $f, g \in \mathbb{R}(t)$ 为有理函数（即两个实系数多项式之比），使得
\begin{equation}
f^2 = g(g-1)(g-\lambda).
\tag{$*$}
\end{equation}
则 $f,g\in \mathbb{R}$（即 $f,g$ 是常数）.


习题2.12是一个非常类似的在$\mathbb{Q}$中通过费马的无限递降法的不存在性证明的例子。

hbghlyj

证明. 令
\begin{align*}
f = r/s \quad\hbox{其中 $r, s \in \mathbb{R}[t]$ 且互素,} \\
g = p/q \quad\hbox{其中 $p, q \in \mathbb{R}[t]$ 且互素.}
\end{align*}
清除分母，$(*)$ 变为
\[
r^2q^3 = s^2p(p-q)(p-\lambda q).
\]
由于 $r$ 和 $s$ 互素，右边的因子 $s^2$ 必须整除 $q^3$，同样，由于 $p$ 和 $q$ 互素，左边的因子 $q^3$ 必须整除 $s^2$。因此，$s^2 \mid q^3$ 且 $q^3 \mid s^2$.
由 $q^3 \mid s^2$，可设 $s^2 = aq^3$，其中 $a \in \mathbb{R}[t]$.
代入 $s^2 \mid q^3$ 得 $a^{-1}\inR[t]$，所以 $a\in\mathbb{R}$ 是常数。
然后
\[
aq = (s/q)^2 \quad \hbox{是 $\mathbb{R}[t]$ 中的一个完全平方。}
\]
另外，
\[
r^2 = ap(p-q)(p-\lambda q),
\]
右边的$a$是常数，剩下的 3 个因式 $p$、$(p-q)$、$(p-\lambda q)$ 是两两互素的多项式（因为题设 $\lambda\ne0,1$）。
因此通过考虑质因式分解，存在非零常数 $b, c, d \in \mathbb{R}$ 使得
\[
bp, \quad c(p-q), \quad d(p-\lambda q)
\]
都是 $\mathbb{R}[t]$ 中的平方。
所以 $\lambda p+\mu q$ 对于 $4$ 个不同的复数比例 $(\lambda:\mu)=(0:a),(b:0),(c:-c),(d:-d)$ 都是 $\mathbb{C}[t]$ 中的完全平方。
所以 $p, q \in \mathbb{C}[t]$ 满足下一个引理的条件。根据该引理，$p, q$ 是常数。
那么从上面可以得出 $r, s$ 也是常数，从而证明了定理。

hbghlyj

引理. 设 $p, q \in \mathbb{C}[t]$ 是互素的，并且假设 $\lambda p+\mu q$ 对于 $4$ 个不同的复数比例 $(\lambda:\mu)$ 都是 $\mathbb{C}[t]$ 中的完全平方；那么 $p, q \in \mathbb{C}$ 是常数。

证明（费马的无限递降法）. 引理的假设和结论在将 $p, q$ 替换为
\[
p' = ap+bq, \quad q' = cp+dq,
\]
其中 $a, b, c, d \in \mathbb{C}$ 且 $ad-bc \ne 0$ 时不受影响。因此我可以假设给定的 4 个完全平方是
\[
p, \quad p-q, \quad p-\lambda q, \quad q.
\]
那么 $p = u^2$, $q = v^2$, 并且 $u, v \in \mathbb{C}[t]$ 是互素的，且
\[
\max (\deg u, \deg v) < \max (\deg p, \deg q).
\]
现在通过反证法，假设 $\max (\deg p, \deg q) > 0$ 并且在满足引理条件的所有 $p, q$ 中是最小的。那么
\[
p-q = u^2-v^2 = (u-v)(u+v)
\]
和
\[
p-\lambda q = u^2-\lambda v^2 = (u-\mu v)(u+\mu v)\text{（其中 $\mu = \sqrt \lambda$）}
\]
是 $\mathbb{C}[t]$ 中的完全平方，因此通过 $u, v$ 的互素性，我得出 $u-v$, $u+v$, $u-\mu v$, $u + \mu v$ 都是完全平方。这与 $\max (\deg p, \deg q)$ 的最小性矛盾。

hbghlyj

是否可以用类似的思路证明 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=13165？

我看了一下没发现任何问题，证明应该可以适用于那帖（$5$ 次）的情况吧，但在网上没有找到$>3$次的版本的证明