角平分线的题目 求两线段和等于一条线段

走走看看

本人只看到了一种截长法，但有个抖音老师说，可以有九种方法。
希望能够看到截长以外的几种常见方法。

走走看看

补短方法，试了下，好像难以做到。这是一道初中数学题。

走走看看

还是给抖音老师发私信，问问是否真有其他方法。
然后发在这里。

战巡

随便啦，非要那么多种方法干啥

角平分线定理得
\[\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{AB}{AC+BC}\]
\[\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{BC}{AC+AB}\]
接下来
\[\frac{AB}{AC+BC}+\frac{BC}{AC+AB}=\frac{AB^2+AC\cdot (AB+BC)+BC^2}{AC^2+AC\cdot(AB+BC)+AB\cdot BC}\]
然后余弦定理
\[AB^2+BC^2-AC^2=2\cos(60\du)BC\cdot AB=BC\cdot AB\]
\[\mbox{原式}=\frac{AC^2+BC\cdot AB+AC\cdot(AB+BC)}{AC^2+AC
\cdot(AB+BC)+AB\cdot BC}=1=\frac{AE}{AC}+\frac{CD}{AC}\]

走走看看

战巡 发表于 2024-12-24 20:38
随便啦，非要那么多种方法干啥

角平分线定理得

很好，谢谢您！

kuing

作内切圆及相应辅助线如上图，有 `\angle HFG=180\du-\angle B=120\du`，以及
\begin{align*}
\angle EFD&=\angle AFC\\
&=180\du-\angle FAC-\angle FCA\\
&=180\du-\frac{\angle BAC+\angle BCA}2\\
&=180\du-\frac{180\du-\angle B}2\\
&=120\du,
\end{align*}
因此
\[\angle HFG=\angle EFD\riff\angle HFE=\angle GFD\riff HE=GD,\]
所以
\[AE+CD=AH+HE+CG-GD=AH+CG=AI+CI=AC.\]

走走看看

kuing 发表于 2024-12-26 18:21
作内切圆及相应辅助线如上图，有 `\angle HFG=180\du-\angle B=120\du`，以及
\begin{align*}
\angle EFD ...

厉害！谢谢您！