两个等边三角形的内心连线最大值

走走看看

在△ABC中，AB=4，∠ACB=45°，以AC、
BC为边长向外作等边△CDA与等边△CEB，
分别去内心F、G，连接FG，求FG的最大值

在几何画板能显示出，FG∥AB时最大。如何去做呢？请大师们看看。

走走看看

把这个草图上传一下。
这是抖音火山版的一位家长问视频老师的一道题，老师说，他看过，记得是FG∥AB时取得，但没有给出解答。
我也经常解答一些家长的问题。这道题，宁可当初没看到。
其中∠FOG=135°，∠AOB=90°，AB=4。

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如上图，设 `O` 为 `\triangle ABC` 外心，以 `OA`, `OB` 为底边向外作顶角为 `120\du` 的等腰 `\triangle OJA` 和 `\triangle OKB`。

易证 `\triangle AJF\sim\triangle AOC` 且 `\triangle BKG\sim\triangle BOC`，相似比 `1:\sqrt3`，故 `JF=KG=OC/\sqrt3=2\sqrt{2/3}`。

再计算一下角度，有 `\angle OJF+\angle OKG=240\du-\angle AJF+240\du-\angle BKG=480\du-\angle AOC-\angle BOC=480\du-270\du=210\du`，易知 `\angle OJK=\angle OKJ=15\du`，所以 `\angle FJK+\angle GKJ=240\du`，且不难算出 `JK=2+2/\sqrt3`，于是问题就简化成：

如下图，`JK=2+2/\sqrt3`, `JF=KG=2\sqrt{2/3}`, `\angle FJK+\angle GKJ=240\du`，求 `FG` 的最小值。

如上图，作平行四边形 `FJKL`，则易知 `\angle LKG=60\du`，所以 `\triangle LKG` 是等边三角形，因此 `FG\leqslant FL+LG=2+2/\sqrt3+2\sqrt{2/3}`，当 `FG\px JK` 时取等。