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cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/mattsum2.tex
其工作原理如下。首先看 $k!^n\!/n$。如果 $k < p_1(n)$，则 $p_1(n)$ 的因子出现在分母中，但不出现在分子中，因此 $k!^n\!/n$ 不是整数。另一方面，如果 $k \ge p_1(n)$，将 $k!$ 提升到 $n$ 次方确保我们在分子中有足够多的每个素数的副本来抵消分母，因此 $k!^n\!/n$ 是整数。
向外工作，当 $k \ge p_1(n)$ 时，余弦的参数是 $\pi$ 的整数倍，因此余弦是 $1$ 或 $-1$。将其提升到偶数次方 $2m$ 得到 $1$，从 $1$ 中减去得到 $0$，因此 $k \ge p_1(n)$ 的项不贡献于求和。当 $k < p_1(n)$ 时，角度不是 $\pi$ 的整数倍，因此其余弦严格介于 $1$ 和 $-1$ 之间。因此，随着 $m$ 的增加，$2m$ 次方趋近于零，因此在极限情况下，这些 $k$ 的值各贡献 $1$ 给求和。结果是 $\sum_{k=0}^{p_1(n)-1} 1 = p_1(n)$，如所述。 |
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