来自讨论组群：$\frac{\sin x}x+\left(\frac{\sin x}x\right)^2-\cos x\geqslant1$

kuing

生如夏花 1-24 16:48
$x\in(0,\pi]$，求证
\[\frac{\sin x}x+\left(\frac{\sin x}x\right)^2-\cos x\geqslant1.\]

证明：对前两项用均值，可知只需证明更强式
\[2\sqrt{\left(\frac{\sin x}x\right)^3}\geqslant1+\cos x=2\cos^2\frac x2,\]
即
\[\left(\frac{\sin x}x\right)^3\geqslant\cos^4\frac x2,\]
令 $x=2y$，上式化为
\[\left(\frac{2\sin y\cos y}{2y}\right)^3\geqslant\cos^4y,\]
即
\[\sin^3y\geqslant y^3\cos y,\]
（这就是老题了）令
\[f(y)=\frac{\sin y}{\sqrt[3]{\cos y}}-y,\quad y\in\left(0,\frac\pi2\right),\]
求导化简得
\[f'(y)=\frac{2\cos^2y+1}{3\sqrt[3]{\cos^4y}}-1,\]
由均值有 $\cos^2y+\cos^2y+1\geqslant3\sqrt[3]{\cos^4y}$，所以 $f'(y)\geqslant0$，得 $f(y)>f(0)=0$，即得证。


“生如夏花”的证法：

ic_Mivoya

利用柯西不等式的积分形式即可证明：
$$\begin{aligned}
{\rm LHS}-{\rm RHS}
&=\dfrac{(x+\sin x)\sin x}{x^2}-(1+\cos x)\\
&=\dfrac{1+\cos x}{x^2}\left[(x+\sin x)\tan\dfrac x2-x^2\right]\\
&=\dfrac{1+\cos x}{x^2}\left[\left(\int_0^x2\cos^2\frac t2{\rm d}t\right)\left(\int_0^x\dfrac{{\rm d}t}{2\cos^2\frac t2}\right)-x^2\right]\\
&\geqslant 0.
\end{aligned}$$

kuing

噢，那就可以仿楼上证明 1# 加强后要证的 `\sin^3y\geqslant y^3\cos y`，由 holder 的积分形式有
\[\left(\int_0^y\cos t\rmd t\right)^2\left(\int_0^y\frac{\rmd t}{\cos^2t}\right)\geqslant\left(\int_0^y1\rmd t\right)^3,\]
即 `\sin^2y\tan y\geqslant y^3`，即 `\sin^3y\geqslant y^3\cos y`。