关于Frobenius method中级数收敛性和混合偏导数可交换性的问题

ccmxigua1

我正在学习Frobenius method。但是其收敛性的证明我无法完全看懂。以下具体上下文的内容可以在PDF的第33页（定理5.1）附近看到：https://ccmxigua.smmall.cloud/MTc0NDc4MDMwNzk4NA

具体内容：
令算子定义为：$$
\mathcal{L}_2[y(x)]= y''+\frac{p(x)}{x} y'+\frac{q(x)}{x^2} y.$$
并且
$$
y(x)= y(x;r)=x^r \sum_{m=0}^{\infty} c_m(r) x^m.
$$ 且已知$\sum_{m=0}^{\infty} c_m x^m$在$|x| \leq \mu_1<\mu$上是一致收敛和绝对收敛的。

(1): $$
\frac{\partial}{\partial r} \mathcal{L}_2[y(x)]=\mathcal{L}_2\left[\frac{\partial y(x)}{\partial r}\right]
$$和$$
\mathcal{L}_2\left[(\partial y(x) / \partial r)_{r=r_1}\right]=\left(\mathcal{L}_2\left[\frac{\partial y(x)}{\partial r}\right]\right)\Bigg|_{r=r_1},
$$ 其中 $\left(\mathcal{L}_2\left[\frac{\partial y(x)}{\partial r}\right]\right)\Bigg|_{r=r_1}$ 表示将$r$替换为$r_1$。

(2): 此外，由于$\sum_{m=0}^{\infty} c_m x^m$在$|x| \leq \mu_1<\mu$上是一致收敛和绝对收敛的，因此$\sum_{m=1}^{\infty} d_m x^m$在$|x| \leq \mu_1 \leq \mu$上也是一致收敛和绝对收敛的，其中$d_m=\left(\frac{\partial c_m}{\partial r}\right)_{r=r_1}$；这也证明了我们关于可以逐项进行关于$r$的微分的假设。

我的问题：为什么在(1)中可以交换混合偏导数的顺序？（我知道当混合偏导数是连续的时候，它们的顺序可以交换，但在这个例子中我无法确定混合偏导数是否连续）。

在(2)中，为什么我们可以得出包含$d_m$的级数与包含$c_m$的级数具有相同的一致收敛性和绝对收敛性？为什么可以交换关于$r$的导数的顺序？

hbghlyj

If the sequence of functions $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converges pointwise to a function $f$ and if the sequence of functions $(f_n')_{n\in\mathbb N}$ converges uniformly to a function $g$, then $f$ is differentiable and $f'=g$.
📘 Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.) Theorem 7.17, pp. 152–153
📗 Tom M. Apostol, Mathematical Analysis (2nd ed., Addison–Wesley, 1974) Theorem 9.10, p. 228
📙 Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis (4th ed., Wiley, 2011) Section 8.2.3 “Derivative of Uniformly Convergent Sequence of Differentiable Functions”
🌐 DPMMS Cambridge PDF Theorem 2 (Term by term differentiation).
📝 CUHK Notes “Uniform Convergence of Series of Functions” Theorem 5 (Differentiation Theorem)

ccmxigua1

hbghlyj 发表于 2025-4-17 08:01
If the sequence of functions $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converges pointwise to a function $f$ and if th ...

十分感谢您的回复，您提供的资料很丰富。我阅读学习了其中的DPMMS Cambridge PDF Theorem 2 (Term by term differentiation)。回到我的问题上，因此也就是说目前仅仅需要证明的是$\sum_{m=1}^\infty{d_m x^m}$是一致收敛的（uniformly convergent）？