排列组合题

hjfmhh

将 9 本书分给甲，乙在内的 3 位同学，下列说法正确的是（ABC）
A．若 9 本书内容完全一样，每人至少一本，则有 28 种不同的分法
B．若 9 本书内容都不一样，分给 3 位同学，则有 $3^9$ 种不同的分法
C．若 9 本书内容完全一样，分给 3 位同学，则有 55 种不同的分法
D．若 9 本书内容都不一样，甲同学至少分得一本，乙同学至少分得 2 本，则有 729 种不同的分法

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对于 D，可以分为 11 类情况：（1）“$1,2,6$” 型，有 $\mathrm{C}_9^1 \mathrm{C}_8^2 \mathrm{C}_6^6 \times(4)=1008$（种）分法；（2）“1,3,5”型，有 $\mathrm{C}_9^1 \mathrm{C}_8^3 \mathrm{C}_5^5 \times(4)=2016$（种）分法；（3）“$1,4,4$”型，有 $\mathrm{C}_9^1 \mathrm{C}_8^4 \mathrm{C}_4^4 \times 2=1260$（种）分法；（4）“$1,7,1$”型，有 $\mathrm{C}_9^1 \mathrm{C}_8^7 \mathrm{C}_1^1=72$（种）分法；（5）“$1,8,0$”型，有 $\mathrm{C}_9^1 \mathrm{C}_8^8=9$（种）分法；（6）“$2,2,5$”型，有 $\mathrm{C}_9^2 \mathrm{C}_7^2 \mathrm{C}_5^5 \times3=2268$（种）分法；（7）“$2,3,4$”型，有 $\mathrm{C}_9^2 \mathrm{C}_7^3 \mathrm{C}_4^4 \times6=7560$（种）分法；（8）“$2,7,0$”型，有 $C_9^2 C_7^7 \times 2=72$ （种）分法；（9）“3,3,3”型，有 $\mathrm{C}_9^3 \mathrm{C}_6^3 \mathrm{C}_3^3=1680$ （种）分法；（10）“$3,6,0$”型，有 $\mathrm{C}_9^3 \mathrm{C}_6^6 \times 2=168$（种）分法；（11）“$4,5,0$”型，有 $\mathrm{C}_9^{+} \mathrm{C}_5^5 \times 2=252$（种）分法。所以共有 $1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16365$ （种）不同的分法，故 D 错误．故选 ABC．

这题的D选项解析怪怪的没怎么看明白为啥第一类第二类×4，有没有其他解法？谢谢

realnumber

乘4原因：依次给甲乙丙（1，2，6），（1，6，2），（2，1，6）这个不符，乙1本了，（2，6，1），（6，2，1），（6，1，2）这个不符.

一般条件比较复杂的话，引入分类讨论比较好.


也要明白为什么下列做法错的，先甲一本，乙2本，再余下书（用隔板法）分给3人。会有重复，也不好除以倍数，可以缩小规模用穷举法对比体验.

hjfmhh

realnumber 发表于 2025-4-19 18:50
乘4原因：依次给甲乙丙（1，2，6），（1，6，2），（2，1，6）这个不符，乙1本了，（2，6，1），（6，2，1 ...

谢谢，这个分类比较繁琐，不知道有没有简洁点的解法？

kuing

D 容斥原理就行了：
随意分 - 甲0本 - 乙0或1本 + 甲0且乙0或1本
`3^9 - 2^9 - (2^9 + 9\times2^8) + (1 + 9) = 16365`