$n$为奇数，$S^n$上恒等映射和对径映射是同伦的

hbghlyj

想象一个大型的“掉头”体操。球面上的每个点 $v$ 都从自己的位置出发，沿着一条平滑的路径，最终跑到对径点 $-v$。要求是，整个过程必须是连续的——相邻的人始终保持相邻。

这是什么意思呢？想象一下，在时间 $t=0$ 时，我们是恒等映射。然后我们开始慢慢地、平滑地变化这个映射，在变化过程中的每一步，球面都还是一个完整的球面，没有被撕裂或粘合。最后，在时间 $t=1$ 时，这个映射正好变成了对径映射。如果能做到这一点，我们就说恒等映射和对径映射是同伦 (homotopic) 的。

引理: 如果 $n$ 维球面 $S^n$ 上存在一个单位向量场 (unit vector field)，那么它的对径映射和恒等映射就是同伦的。

“单位向量场”就是给球面上的每一个点 $v$，都指定一个与球面相切的单位向量 $X(v)$。而且，这个指定过程必须是连续的——当你沿着球面平滑移动时，指定的那个切向量也要跟着平滑地变化。

这就像给一个毛茸茸的球“梳毛”。$v$ 是毛发根部在球面上的位置，$X(v)$ 就是这根毛发被梳理后指向的方向。所谓的“单位向量场”，每一根毛发（向量）长度都是1，并且都与球面相切。

引理证明
定义函数 $H$：
$$H(v, t) = (\cos \pi t)v + (\sin \pi t)X(v)$$
这里的 $v$ 是球面上的一个点，$t$ 是从 0 到 1 变化的时间。

• 当 $t=0$ 时，$H(v, 0) = (\cos 0)v + (\sin 0)X(v) = v$。这就是恒等映射。
• 当 $t=1$ 时，$H(v, 1) = (\cos \pi)v + (\sin \pi)X(v) = -v$。这就是对径映射。

那在 $t$ 从 0 到 1 的过程中呢？因为 $X(v)$ 是单位向量且与 $v$ 垂直（$X(v) \perp v$），我们可以计算一下 $H(v,t)$ 的长度：
$$\|H(v,t)\|^2 = (\cos\pi t)^2\|v\|^2 + (\sin\pi t)^2\|X(v)\|^2$$
因为 $v$ 和 $X(v)$ 都是单位向量（长度为1），所以：
$$\|H(v,t)\|^2 = \cos^2(\pi t) + \sin^2(\pi t) = 1$$
这说明在整个变化过程中，点始终都停留在球面上！这个函数 $H$ 就是我们想要的那个连续变形的过程，也就是一个同伦。

这个构造非常巧妙，它本质上是让每个点 $v$ 沿着由 $v$ 和它的切向量 $X(v)$ 确定的“大圆”路径，旋转了 180 度，最终到达了 $-v$。

hbghlyj

现在，问题转化成了：球面 $S^n$ 上，存在这样一个“单位向量场”吗？答案：当且仅当 $n$ 是奇数。

证明

• 当 $n$ 是偶数时，比如我们熟悉的 $S^2$。对径映射 $A$ 的映射度(degree)是 $-1$。而恒等映射的映射度是 $+1$。映射度是同伦不变量，也就是说，如果两个映射是同伦的，它们的映射度必须相等。既然 $-1 \neq +1$，所以它们不可能是同伦的。（毛球定理：偶数维球面上不存在处处非零的切向量场）。
• 当 $n$ 是奇数时，我们只需要按照引理的指示，去构造一个单位向量场就行了！
  设 $n=2k-1$。我们可以把 $S^n$ 看作是 $\mathbb{R}^{2k}$ 里的单位球面。
  $\mathbb{R}^{2k}$ 里的一个点可以写成 $v=(x_1, x_2, x_3, x_4, \dots, x_{2k-1}, x_{2k})$。
  
  现在我们来定义“梳毛”的方向 $X(v)$：
  $$X(v) = (-x_2, x_1, -x_4, x_3, \dots, -x_{2k}, x_{2k-1})$$
  我们把坐标两两配对，然后在每个二维平面内，把向量旋转90度。例如，$(x_1, x_2)$ 变为 $(-x_2, x_1)$。
  这个 $X(v)$ 是不是一个合格的单位向量场呢？
  
  • 长度为1吗？$$\|X(v)\|^2 = (-x_2)^2+x_1^2 + \dots = x_1^2+x_2^2+\dots = \|v\|^2 = 1$$是的。
  • 与球面相切吗？我们计算与 $v$ 的点积：$$v \cdot X(v) = x_1(-x_2) + x_2(x_1) + x_3(-x_4) + x_4(x_3) + \dots=0$$是的。
  • 连续吗？这是线性变换，当然。
  
  我们成功地在任意奇数维的球面 $S^{2k-1}$ 上构造了一个单位向量场！根据前面的引理，只要有这个向量场，我们就能构造出那个同伦，证明对径映射和恒等映射是同伦的。