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hbghlyj
Posted 2023-8-5 19:11
对于任意两个四面体，是否一定存在一条直线能够经过它们的八个面（含顶点和边）？
知乎
我们还是先来看一个三角形的情况。设所有同时和三角形的三条边有交点的直线构成集合 $\mathcal{L}$ 。注意到如果 $l\in \mathcal{L}$ ，那它必然至少经过一个顶点。
另外注意到，对于任意给定的方向，都存在唯一一条同方向的直线满足要求。也就是说，对于任意 $\theta\in[0,\pi)$ ，都存在唯一直线 $l=l(\theta)\in\mathcal{L}$ 满足 $l$ 的倾斜角为 $\theta$ ； $l(\theta)$ 随 $\theta$ 的变化而连续转动（在某个拓扑下连续，但我懒得验证），并且 $l(\theta)$ 取遍整个 $\mathcal{L}$ ，毕竟任何直线总要有倾斜角。我们也可以把 $l(\theta)$ 看成整个 $\mathbb{R}$ 上的周期为 $\pi$ 的函数。
现在考虑有两个三角形的情况。此时相当于有两个连续函数 $l_1(\theta),l_2(\theta)$ 以及对应的集合 $\mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2$ 。只需证明 $\mathcal{L}_1\cap\mathcal{L}_2\neq\varnothing$ ，即存在 $\theta\in[0,\pi)$ 满足 $l_1(\theta)=l_2(\theta)$ 。
接下来就有很多种思路了：比如注意到始终有 $l_1(\theta)\parallel l_2(\theta)$ ，但是 $l_1(\theta)$ 不可能始终位于 $l_2(\theta)$ 同一侧，否则不可能在 $\theta\to\theta+\pi$ 时两条直线同时回到初始位置；这个可以用 $l_1(\theta)$ 和 $l_2(\theta)$ 的有向距离是 $\theta$ 的连续函数 $d(\theta)$ ，之后用 $d(\theta+\pi)=-d(\theta)$ 结合介值定理说明。
下面来看一个四面体的情况。依然设这样的直线集合为 $\mathcal{L}$ 。
首先依然可以说明：对于任意给定的 $\mathbb{R}^3$ 中的方向，都存在唯一一条同方向的直线在 $\mathcal{L}$ 中。我们可以作垂直于该方向的平面，并将四面体投影到这个平面上。要么一个顶点的投影落在对面的投影内，要么两条边的投影相交；并且如果两种情况同时出现，那么必然发生在同一点。
此时，要表示 $\mathbb{R}^3$ 中的方向（区分正反）和 $S^2$ 上的点一一对应。所以此时，这样的直线可以看成是连续函数 $l(p)\colon S^2\to\mathcal{L}$ ，并且 $l(p)=l(-p)$ 。
接下来的问题在于当有两个四面体时，如何把刚才的论述推广过来。显然一条直线不能再将 $\mathbb{R}^3$ 分成两部分，也不能定义方向和有向距离了。但是有一个另外的思路：再利用一下刚才的平面。
设有连续函数 $l_1(p),l_2(p)$ 以及对应的集合 $\mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2$ 。考虑 $l_1(p),l_2(p)$ 和 $p$ 处的切平面交于 $h_1,h_2$ ，那么 $d(p):=h_2-h_1$ 是 $T_pS^2$ 中的一个向量。于是 $d$ 定义了 $S^2$ 上的一个连续向量场，根据毛球定理，必然存在 $d(p)=0$ ，而 $d(p)=0$ 当且仅当 $l_1(p)=l_2(p)$ 。
所以事实上，这是一个几乎完全拓扑的命题：对于 $\mathbb{R}^n$ 中的两族直线 $\mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2$ ，每一族都恰有一条任意方向的直线，并且关于方向连续，那么 $\mathcal{L}_1\cap\mathcal{L}_2\neq\varnothing$ 。可以用刚才的思路定义 $S^{n-1}$ 上的对径点相等的连续向量场（嵌到 $\mathbb{R}^n$ 里），然后同学说根据代数拓扑可以证明不存在这样的处处非零的向量场。 |
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