USAMO

琉璃幻

設實數$a,b\in R^{+}$, $a^n=a+1$, $b^{2n}=b+3a$.比較$a,b$大小

realnumber

n是正整数吗？

其妙

n是正整数吗？
realnumber 发表于 2013-12-12 10:40

是，

wenwen.soso.com/z/q166703991.htm

kuing

由 $a^n=a+1>1$ 知 $a>1$，故 $b^{2n}=b+3a>1$ 知 $b>1$，因为
\[a^{2n}-b^{2n}=(a+1)^2-(b+3a)=(a-1)^2+a-b>a-b \riff a^{2n}-a>b^{2n}-b,\]
而 $f(x)=x^{2n}-x$ 显然在 $(1,+\infty)$ 上递增，故 $f(a)>f(b) \iff a>b$。

isee

帖的标题是什么意思？

kuing

回复 5# isee

大概是美国数学奥林匹克

其妙

帖的标题是什么意思？
isee 发表于 2013-12-12 21:23

isee，救命啊！aurora下载了，输入 公式显示小正方形及其阴影，怎么回事啊？
详见此贴：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=1481&extra=page%3D1