来自人教群的简单二元不等式

kuing

\begin{align*}
(a+2b)^3&\leqslant a^2b(a+2b)^3 \\
& =\frac1{27}\cdot 3a\cdot 3a\cdot 3b\cdot (a+2b)\cdot (a+2b)\cdot (a+2b) \\
& \leqslant \frac1{27}\left( \frac{3a+3a+3b+a+2b+a+2b+a+2b}6 \right)^6 \\
& =27\left( \frac{a+b}2 \right)^6 \\
& \leqslant 27\left( \frac{a^2+b^2}2 \right)^3,
\end{align*}
故
\[a+2b\leqslant \frac32(a^2+b^2).\]

007

$\dfrac32(a^2+b^2)\geqslant a+2b\Leftrightarrow 2a^2+b^2+(a-1)^2+2(b-1)^2\geqslant3$
而$2a^2+b^2=a^2+a^2+b^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2a^2b^2}\geqslant3,(a-1)^2+2(b-1)^2\geqslant0$，下略

其妙

这里也有另外4种证法：
1、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101h0vk.html
2、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101h0vb.html