曲线渐近

青青子衿

当研究两曲线渐近时，用什么来衡量两曲线渐近？
如果两曲线一开始是疏远的，之后开始渐近，如何确定它们开始渐近的渐近点，或如何确定它们的疏远点？

hbghlyj

例如 $x^3+y^3-3xy=0$ 渐近线为 $x+y+1=0$
import graph;

size(200,0);

real r (real theta) {
  return 3*sin(theta)*cos(theta)/(sin(theta)^3+cos(theta)^3);
}

draw(polargraph(r,-pi/5,pi/2+pi/5),red);
real g(real x) { return -x-1; }
draw(graph(g, -3.5, 2.5),dashed);

label("$r={\frac {3\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}$", (3.5,1.5), align=S);
$y=x^2+2x+3$ 为 $y={x^3+2x^2+3x+4\over x}$ 的渐近抛物线
import graph;

real f(real x) {return x^2+2x+3;}
real g(real x) {return (x^3+2x^2+3x+4)/x;}

unitsize(1cm,.1cm);
xaxis(-5,5,Ticks("%",1.0));
yaxis(-40,40,Ticks("%",10));
draw(graph(f,-5,5),red);
draw(graph(g,-5,-0.1),blue);
draw(graph(g,0.1,5),blue);
label("$y=x^2+2x+3$",(-3,18),red);
label("$y=\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x}$",(2,25),blue);