请教：四面角四角相等

数学小黄

题目

joatbmon

可以看到，所求两个角$\angle APC=\angle BPD$
这显然与AP,BP,CP,DP的长度无关，那么都取1，就是一个正四棱锥，$\cos\angle APC=1-4(\cos\theta-1)^2$
好奇怪，我哪里理解错了？

kuing

回复 2# joatbmon

显然可以不相等，想想菱形……

To 楼主：下次发贴时可以选择主题分类（见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=170），标题也可以打详细一些。

kuing

作公共平分线，再作一与此线垂直的平面，如图。



记 $\angle APO=\alpha$, $\angle BPO=\beta$，则由三余弦定理得
\[\cos\theta=\cos\alpha\cos\beta=\frac12\bigl( \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr),\]
即
\[\cos\frac{\angle APC+\angle BPD}2=2\cos\theta-\cos(\alpha-\beta),\]
显然 $\abs{\alpha-\beta}\in[0,\theta]$，故
\[\cos\frac{\angle APC+\angle BPD}2\in[2\cos\theta-1,\cos\theta],\]
即
\[\angle APC+\angle BPD\in[2\theta,2\arccos(2\cos\theta-1)].\]

数学小黄

回复 4# kuing


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