解三角函数方程

史嘉

\[\frac{1-\abs{\cos x}}{1+\abs{\cos x}}=\sin x\]


$\sin^2x=\sin x\cdot(1+\abs{\cos x})^2$
$\sin x[\sin x-(1+\abs{\cos x})^2]=0$

第二个因式为零，只有观察吗？

讨论如何？

其妙

回复 1# 史嘉
笨方法，分$\cos x\geqslant0$和$\cos x<0$讨论，去分母分解因式，利用有界性，可得
$\sin x=0,\cos x=\pm1$或$\sin x=1,\cos x=0$，故$x=k\pi$或$x=\dfrac{\pi}2+2k\pi,k\in Z$

爪机专用

回复 1# 史嘉
写代码吧

史嘉

回复 3# 爪机专用
呵呵，绝对值，还分式的，代码要弄半天，爪机了又，哈哈，其妙老师给了方法。

其妙

回复 4# 史嘉
可以在mathtype里打出公式，然后复制代码的，

kuing

代码建议手打，软件输出可能比较zao，只有比较多内容而且难打时才考虑软件转换。

1楼的公式其实很容易输入了，我已编辑了1楼，楼主可以编辑看看怎么输入。

kuing

第二个因式也直接展开就行了
\begin{gather*}
\sin x-(1+\abs{\cos x})^2=0,\\
\sin x-1-\cos^2x-2\abs{\cos x}=0,\\
\sin x-2+\sin^2x-2\abs{\cos x}=0,\\
(\sin x+2)(\sin x-1)-2\abs{\cos x}=0,
\end{gather*}
显然 $(\sin x+2)(\sin x-1)-2\abs{\cos x}\leqslant0$ 恒成立，等号成立当且仅当 $\sin x=1$ 且 $\cos x=0$，……

战巡

回复 7# kuing
...........
还展开啥啊........
\[(1+\abs{\cos(x)})^2\ge 1\]不是显然的么.....

kuing

回复 8# 战巡
彻底傻B了我……

史嘉

回复 6# kuing

谢谢，学习了。
有时需要翻来覆去调整多次，还是不熟，所以图片了。