最值

guanmo1

如图。



____kuing edit in $\mathrm\LaTeX$____
10. 若实数 $a, b, c, d$ 满足 $(b+a^2-3\ln a)^2+(c-d+2)^2=0$，则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为（ ）
(A) $\sqrt2$    (B) $2$    (C) $2\sqrt2$    (D) $8$

kuing

由条件得
\begin{align*}
(a-c)^2+(b-d)^2&=(a-c)^2+(3\ln a-a^2-c-2)^2 \\
& \geqslant \frac12(c-a+3\ln a-a^2-c-2)^2 \\
& =\frac12(a^2+a+2-3\ln a)^2,
\end{align*}
又
\[a^2+a+2-3\ln a\geqslant a^2+a+2-3(a-1)=(a-1)^2+4\geqslant 4,\]
故
\[(a-c)^2+(b-d)^2\geqslant 8,\]
当 $a=d=1$, $b=c=-1$ 时取等。

其妙

方法一kuing先生已经用了，
那么方法二只有数形结合了！

踏歌而来

lna≤a－1是通过导数证明的吗？

其妙

回复 4# 踏歌而来
嗯，熟知的不等式，

isee

回复 3# 其妙

整来看看

kuing

回复 6# isee

两个函数之间的点距，其中一条是直线，所以求另一条的切线与其平行，……

乌贼

直接点到直线距离公式

其妙

上述方法都是数形结合的典范