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本帖最后由 realnumber 于 2014-3-11 23:34 编辑 记函数h(x)=f(x)f(1-x)
又h(1-x)=h(x),即y=h(x)关于直线x=0.5对称，
由题意,可得原题成立的一个必要条件是$h(0.5)\ge0$,得$(2a-0.5)^2\ge1$,---①
又由必要条件f(x)=0的零点不在(0,1)内---②(否则这个零点代入h(x)=f(x)f(1-x)得到也是h(x)的零点，无法满足$h(x)\ge1$恒成立.)，
由①②解得$a\le -0.25或a\ge1$.
再进行充分性检验通过.如下，忧闷，似乎有难度，哪位有简易办法，发下
设x=0.5+t,1-x=0.5-t,$t\in{(-0.5,0.5)}$,
即要验证在满足条件$a\le -0.25或a\ge1$,$t\in{(-0.5,0.5)}$,有$(\frac{a}{0.5+t}-0.5-t)(\frac{a}{0.5-t}-0.5+t)\ge1$恒成立.
去分母得到$(a-(0.5+t)^2)(a-(0.5-t)^2)\ge 0.5^2-t^2$,左边看作a的二次函数，对称轴是$a=\frac{(0.5+t)^2+(0.5-t)^2}{2}=0.5^2+t^2\in{0.5^2,0.5}$
如此这个a的二次函数只可能在a=-0.25与a=1取最小值，即只需要这2个a值成立，其它a的值都成立，以下略. |
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