(z)有对称轴的一个函数恒成立问题

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12，已知函数 $f(x)=\frac{a}{x}-x$ ，对任意 $x \in(0,1)$ ，有 $f(x) \cdot f(1-x) \geq 1$ 恒成立，
则实数 $a$ 的取值范围是
当 $f(x)>0$ 时，
由 $\frac{f(x)+f(y)}{2} \geq \sqrt{f(x) \cdot f(y)}=1$ ，得
$\frac{a}{x}-x+\frac{a}{y}-y \geq 2$ 且 $\frac{a}{x}-x>0$ 在 $(0,1)$ 恒成立
$\Rightarrow a \frac{x+y}{x y}-(x+y) \geq 2, a>x^2$ ．注：$x+y=1$
$\Rightarrow a \geq 3 x y, a>x^2 . \Rightarrow a \geq \frac{3}{4}, a \geq 1$ ．即 $a \geq 1$
当 $f(x)<0$ 时，
由 $\frac{|f(x)|+|f(y)|}{2} \geq \sqrt{f(x) \cdot f(y)}=1$ ，得
$x-\frac{a}{x}+y-\frac{a}{y} \geq 2$ 且 $\frac{a}{x}-x<0$ 在 $(0,1)$ 恒成立
$\Rightarrow a \leq-\frac{1}{4}, a \leq 0$ ．即 $a \leq-\frac{1}{4}$ ，
综上所述：实数 $a$ 的取值范围为 $a \geq 1$ 或 $a \leq-\frac{1}{4}$ ．
我觉得这个解法有问题，得到的结果仅仅是满足了必要性的推理.
如果这样还不如找更简单的必要性，直接对称轴x=0.5以及f(x)=0的零点不出现在(0,1)来替换

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记函数h(x)=f(x)f(1-x)
又h(1-x)=h(x),即y=h(x)关于直线x=0.5对称，
由题意,可得原题成立的一个必要条件是$h(0.5)\ge0$,得$(2a-0.5)^2\ge1$,---①
又由必要条件f(x)=0的零点不在(0,1)内---②(否则这个零点代入h(x)=f(x)f(1-x)得到也是h(x)的零点，无法满足$h(x)\ge1$恒成立.)，
由①②解得$a\le -0.25或a\ge1$.
再进行充分性检验通过.如下，忧闷，似乎有难度，哪位有简易办法，发下
设x=0.5+t,1-x=0.5-t,$t\in{(-0.5,0.5)}$,
即要验证在满足条件$a\le -0.25或a\ge1$,$t\in{(-0.5,0.5)}$,有$(\frac{a}{0.5+t}-0.5-t)(\frac{a}{0.5-t}-0.5+t)\ge1$恒成立.
去分母得到$(a-(0.5+t)^2)(a-(0.5-t)^2)\ge 0.5^2-t^2$,左边看作a的二次函数，对称轴是$a=\frac{(0.5+t)^2+(0.5-t)^2}{2}=0.5^2+t^2\in{0.5^2,0.5}$
如此这个a的二次函数只可能在a=-0.25与a=1取最小值，即只需要这2个a值成立，其它a的值都成立，以下略.

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浙江温州谢--(154-----3) 21:17:32
\begin{aligned}
& \left(\frac{a}{x}-x\right)\left[\frac{a}{1-x}-(1-x)\right] \geq 1 \Rightarrow a^2-\left(2 x^2-2 x+1\right) a+\left(x^2-x\right)\left(x^2-x+1\right) \geq 0 \\
& \Rightarrow\left[a-\left(x^2-x\right)\left[a-\left(x^2-x+1\right)\right] \geq 0 \Rightarrow a \geq x^2-x+1 \text { 或 } a \leq x^2-x\right.
\end{aligned}

九章数学

\begin{aligned}
& f(x) f(1-x) \geq[x+(1-x)]^2 \\
&\color{red}{ f(x) f(y) \geq(x+y)^2} \\
& f(x) f(y)=(x+y)^2 \\
& \left(\frac{a}{x}-x\right)\left(\frac{a}{y}-y\right)=(x+y)^2 \\
& \left(a-x^2\right)\left(a-y^2\right)=x y(x+y)^2 \\
& a^2-\left(x^2+y^2\right) a+x y\left[x y-(x+y)^2\right]=0 \\
& a^2-\left(x^2+y^2\right) a-x y\left(x y+x^2+y^2\right)=0 \\
& (a+x y)\left[a-\left(x y+x^2+y^2\right)\right]=0 \\
& f(x) f(y) \geq(x+y)^2 \Leftrightarrow a \geq x^2+y^2+x y\text{ or } a \leq-x y
\end{aligned}