2020年新高考全国卷1第21题 含参导数恒成立

isee

本题为 山东新高考全国卷1的和21题，同时也是海南新高考全国卷2的第22题。
这两卷的题目绝大部分是相同的——我现从ZXXK的信息是这样子的。


已知函数$f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a$．
（1）当$a=e$时，求曲线$y=f(x)$在点（$1,f(1)）$处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若$f(x)≥1$，求$a$的取值范围．

isee

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（1）$2/(e-2)$，过程略；

（2）用论坛里的方式放缩一下
\begin{align*}
ae^{x-1}-\ln x+\ln a&=e^{x-1+\ln a}-\ln x+\ln a\\
&\geqslant x-1+\ln a+1-\ln x+\ln a\\
&=x-\ln x+2\ln a\\
&\geqslant 1+2\ln a\geqslant 1\\
&\Rightarrow a\geqslant 1
\end{align*}


此楼的解法不完备，补充请看3#，5#，6#

更一般的情形（别的题中），请留意7#


注意，最后形成的解法，直接看9#

色k

回复 2# isee

这个撸法有问题，
第一个 ≥ 的取等条件是 x-1+lna=0，
第二个 ≥ 的取等条件是 x=1，
当 a≠1 时 f(x) 就取不到 1+2lna，即它并不是 f(x) 的最小值，
那你直接用它 ≥1 来解 a 得到的就不一定是充要的。

isee

回复 3# 色k


有道理，还得进一步讨论。

色k

回复 4# isee

充分性有，得补必要性，即证明当 a<1 时不符合，可能要玩取点……

色k

回复 5# 色k

这取点也太简单，就取 x=a 这样你那过程就救回来了

敬畏数学

$ ae^{x-1}+lna\geqslant lnx+1,e^{lna+x-1}+lna\geqslant lnx+1, e^{lna+x-1}+lna+x-1\geqslant lnx+x=e^{lnx}+lnx$,考察函数$ g(x)=x+e^x $为R上增函数，则有，$ lna+x-1\geqslant lnx $,$ lna\geqslant lnx+1-x,lnx\leqslant x-1,lna\geqslant 0,所以a\geqslant 1 $.这样的套路题，被别人做了多少遍了！！！！

敬畏数学

回复 2# isee
这个做法漏洞还是蛮大的。你这是要求他的最小值≥1？

kuing

回复  色k

这取点也太简单，就取 x=a  这样你那过程就救回来了
色k 发表于 2020-7-12 23:35

既然想到了这个取点，那也就无需再用 2# 的方式了，可以这样写：

如果 `0<a<1`，则 `f(a)=ae^{a-1}<a<1`，不符合题意；

如果 `a\geqslant1`，则 `f(x)\geqslant e^{x-1}-\ln x\geqslant x-\ln x\geqslant1`，符合题意。

搞定

敬畏数学

确实此题做麻烦了。x=1,知a>=1.显然a>=1成立。一行就就解决。这是考题吗？第一问提示套路多余。

isee

感叹就是刚开始思考与最后定型的解题过程，两者之间真有可能偏离很远~

isee

回复 11# isee


一年后再看此题，站在普通考生角度，发现直接求导讨论导数零点再判断原函数的单调性反而返璞归真。

太新的方法反而适其反，收效不佳。分段讨论，从局部着手有时会事半功倍。



补充一下7#的“同形异构”解法(只是好记一点点)
\begin{align*}
ae^{x-1}-\ln x+\ln a&\geqslant 1\\
\iff ae^{x-1}&\geqslant \ln x-\ln a+1=\ln {\frac {\mathrm ex}{a}}\\
\iff xe^{x}&\geqslant \frac {\mathrm ex}{a}\ln {\frac {\mathrm ex}{a}}\\
g(x)&=x\mathrm e^x,x>\frac a{\mathrm e}>0\\
g(x)&\geqslant g\left(\ln {\frac{\mathrm ex}{a}}\right)\\
\Rightarrow x&\geqslant \ln {\frac{\mathrm ex}{a}}\\
\iff x-\ln x & \geqslant 1\geqslant \ln {\frac{\mathrm e}{a}}\\
\cdots & \cdots
\end{align*}

isee

回复 12# isee

注意，为了便于理解，`0<x\leqslant a/e`没有并入一起讨论~

oreoes

回复 12# isee

其妙

在这个链接里的后面五分之一部分处的第21题可以看到有多种解答：
mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … 04&lang=zh_CN#rd

战巡

回复 12# isee

直接求导看导数零点对知识匮乏的高中生还挺麻烦的，少不了分类讨论之类的骚操作，搞不好还是会卡住

\[f'(x)=ae^{x-1}-\frac{1}{x}=0\]
这个会得到
\[x_0e^{x_0}=\frac{e}{a}\]
也就是$x_0=W(\frac{e}{a})$，$W()$为朗博$W$函数，这个函数性质是大部分高中生不理解的

问题是很多人忽略了朗博$W$函数的反函数要相对简单得多，这里可以反过来解出
\[a=\frac{1}{e^{x_0-1}x_0}\]
带回去得到
\[f(x_0)=1+\frac{1}{x_0}-x_0-2\ln(x_0)\ge 1\]
这玩意明显递减，而且一眼看出等号在$x_0=1$时成立，说明需要$x_0\le 1$，那么对应过来$a=\frac{1}{e^{x_0-1}x_0}$随$x_0$递减，就得有$a\ge 1$