浙江高考数学压轴题

APPSYZY

今年浙江也考起了漂移~~~

kuing

今年浙江也考起了漂移~~~
APPSYZY 发表于 2018-6-7 18:03

能不能思考一下再说，别一看到 `x_1`, `x_2` 什么的就说是漂移，这题一点漂移的东东都木有，是很常规的函数题。
依题意有\[\frac 1{2\sqrt {x_1}}-\frac 1{x_1}=\frac 1{2\sqrt {x_2}}-\frac 1{x_2},\]配方\[\left( {\frac 1{\sqrt {x_1}}-\frac 14} \right)^2=\left( {\frac 1{\sqrt {x_2}}-\frac 14} \right)^2,\]因 `x_1\ne x_2` 故\[\frac 1{\sqrt {x_1}}+\frac 1{\sqrt {x_2}}=\frac 12,\]换元 `x_1=1/t^2,x_2=1/u^2,t,u>0` 则 `t+u=1/2`，于是\[f(x_1)+f(x_2)=\frac 1t+\frac 1u+2\ln t+2\ln u=\frac 1{2tu}+2\ln (tu),\]再令 `v=tu`，由均值且不能取等知 `v<1/16`，即证\[\frac 1{2v}+2\ln v>8-8\ln 2,\]下略。
至于第二问，我不想撸，不过肯定也不会和漂移有关。

isee

新高考还是考导数。。。。。。

力工

回复 2# kuing
撸下去吧，k神。后面多参，较难说理。

kuing

回复 4# 力工

这么简单都要我撸……
\[kx+a=f(x) \iff \frac{\sqrt x-\ln x-a}x=k.\]
首先证明\[\frac{\sqrt x-\ln x-a}x\]是单调的，换元 `x\to x^2`，即证\[g(x)=\frac{x-2\ln x-a}{x^2}\]单调，求导\[g'(x)=\frac{4\ln x-x+2a-2}{x^3},\]易证 `4\ln x-x\leqslant4\ln4-4`，所以由 `a\leqslant3-4\ln2` 即得 `g'(x)\leqslant0`。
最后再由 `\lim_{x\to0^+}g(x)\to+\infty`, `\lim_{x\to+\infty}g(x)\to0` 表明 `g(x)` 的值域为 $\Bbb R^+$，所以有且只有一解。

isee

回复 5# kuing

好顺，多参，分呗。

kuing

回复 6# isee

修改了一下，刚才漏了说明值域。
这里我用了极限，如果不许用的话，估计又要用那些什么取点技巧来绕过去了……

APPSYZY

回复 7# kuing
kuing威武！这题的确不是极值点漂移。。。

realnumber

这样直观成分有些多，也许评卷会扣分吧
2.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}(\sqrt{x}-2),x>0$$y=f(x)$在(0,4)上递减，(4,+∞)上递增
令$t=\frac{1}{\sqrt{x}}$t是x的减函数,$y=f'(x)=\frac{1}{2}t(1-2t)$，在$t=\frac{1}{4},x=16$时取到最大值，且当$t\in [\frac{1}{4},+∞ )$,即$x\in (0,16]$f'(x)在(0,16]单调递增值域(-∞,$\frac{1}{16}$],当$t\in (0,\frac{1}{4}]$，即$x\in [16,+∞)$f'(x)在[16，+∞)单调递减，值域为(0,$\frac{1}{16}$],
y=f'(x)为y=f(x)上点(x,y)的切线斜率，又y=f(x)在$x=16$处的切线为$y-(4-4\ln{2})=\frac{1}{16}(x-16)$在y轴上交点为$(0,3-4\ln{2})$,而直线y=kx+a的斜率为k,在y轴上交点为(0,a),因此当$a\le 3-4\ln{2}$时，对任意k>0,
y=kx+a与y=f(x)有唯一交点。

力工

回复 7# kuing
我知道很常规的套套。这样子的题居然有淫说是“那个难日”中值，我汗。

isee

回复 5# kuing

看了一眼学科网给的答案，没有用极限，证明了两点，一是$k>0,a\in \mathrm R$ 有交点；二是$a\leqslant 3-4ln 2$至多一个交点（方法类同)。

shidilin

在$ x_{1},x_{2}$处的导数相等，结合9楼贴的图，硬是想象不来，这两个点在何处？

kuing

回复 12# shidilin

图形是先下凸后上凸的，只不过上凸的部分不明显，用几何画板直接画是很难看出来的，用MMC的话指定大区间才看得清楚：

shidilin

回复 13# kuing
嗯嗯，谢谢答复！

游客

第二问，先求原函数的2阶导，说明图象的凹凸，然后直接考虑原函数图象的任意切线在Y轴上的截距的最小值，然后就解决了，运算很简单。

游客

回复 15# 游客

掉坑里了，切线也可以有2个公共点。。。。。。。。

敬畏数学

分离变量后，求值域时利用$lnx>1-1/x$.此题意义不大。

走走看看

回复 17# 敬畏数学

看看您如何把第二问也做完整。

走走看看

回复 18# 走走看看

$当x_1满足x_1＞\frac{1}{k}且x_1＞e^{-a}时，g(x_1)<0;当x_2满足x_2＜\frac{1}{k}且x_2＜e^{-a}时，g(x+2)>0，$

$所以 存在x0∈(x_2,x_1)，使得g(x_0)=0。$